Восьмимерное пространство

В математике последовательность из n действительных чисел можно понимать как местоположение в n - мерном пространстве. Когда n = 8, совокупность всех таких мест называется 8-мерным пространством . Часто такие пространства изучаются как векторные пространства без какого-либо понятия расстояния. Восьмимерное евклидово пространство — это восьмимерное пространство, снабженное евклидовой метрикой .

В более общем смысле этот термин может относиться к восьмимерному векторному пространству над любым полем , например, к восьмимерному комплексному векторному пространству, имеющему 16 действительных измерений. Это также может относиться к восьмимерному многообразию, такому как 8-сфера , или множеству других геометрических конструкций.

Геометрия

8-многогранник

Основная статья: 8-многогранник

Многогранник . в восьми измерениях называется 8-мерным многогранником Наиболее изученными являются правильные многогранники всего , которых в восьми измерениях три : 8-симплекс , 8-куб и 8-ортоплекс . Более широкое семейство — это однородные 8-многогранники , построенные из фундаментальных областей симметрии отражения, каждая из которых определяется группой Коксетера . Каждый однородный многогранник определяется кольцевой диаграммой Кокстера-Динкина . 8 -демикуб — ​​уникальный многогранник из семейства D ₈ , а также многогранники 4 ₂₁ , 2 ₄₁ и 1 ₄₂ из семейства E ₈ .

Правильные и однородные многогранники в восьми измерениях
(Отображается в виде ортогональных проекций в каждой плоскости симметрии Кокстера)

А 8			Б 8						Д 8
8-симплекс {3,3,3,3,3,3,3}			8-кубовый {4,3,3,3,3,3,3}			8-ортоплекс {3,3,3,3,3,3,4}			8-демикуб ч{4,3,3,3,3,3,3}
E8
4 21 {3,3,3,3,3 2,1 }				2 41 {3,3,3 4,1 }				1 42 {3,3 4,2 }

7-сфера

или 7-сфера гиперсфера в восьми измерениях — это семимерная поверхность, равноудаленная от точки, например начала координат. Имеет символ S ⁷ , с формальным определением для 7-сферы r радиусом

$$S^{7}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{8}:\|x\|=r\right\}.$$

Объем пространства, ограниченного этой 7-сферой, равен

$$V_{8}\,={\frac {\pi ^{4}}{24}}\,R^{8}$$

что составляет 4,05871 × г ⁸ , или 0,01585 от 8-куба , содержащего 7-сферу.

Проблема с числом поцелуев

Основная статья: Проблема с числом поцелуев

Проблема числа поцелуев была решена в восьми измерениях благодаря существованию многогранника 4 ₂₁ и связанной с ним решетки . Число поцелуев в восьми измерениях — 240 .

Octonions

Основная статья: Октонион

Октонионы — это нормированная алгебра с делением действительных чисел, самая большая такая алгебра. Математически они могут быть заданы 8-ю наборами действительных чисел, поэтому образуют 8-мерное векторное пространство над действительными числами, причем сложение векторов является сложением в алгебре. Нормированная алгебра — это алгебра, произведение которой удовлетворяет условию

$\|xy\|\leq \|x\|\|y\|$

для всех x и y в алгебре. Кроме того, нормированная алгебра с делением должна быть конечномерной и обладать тем свойством, что каждый ненулевой вектор имеет уникальный мультипликативный обратный. Теорема Гурвица запрещает существование такой структуры в измерениях, отличных от 1, 2, 4 или 8.

Бикватернионы

Комплексифицированные кватернионы $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$, или « бикватернионы », представляют собой восьмимерную алгебру, возникшую в результате Уильяма Роуэна Гамильтона работы в 1850-х годах. Эта алгебра эквивалентна (т. е. изоморфна ) алгебре Клиффорда $C\ell _{2}(\mathbb {C} )$и алгебра Паули . Она также была предложена в качестве практического или педагогического инструмента для выполнения вычислений в специальной теории относительности , и в этом контексте она получила название «Алгебра физического пространства» (не путать с алгеброй пространства-времени , которая является 16-мерной).

Ссылки

• ХСМ Коксетер :
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 Wiley:: Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380–407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Таблица самого высокого количества поцелуев, известных в настоящее время, составленная Габриэле Небе и Нилом Слоаном (нижние границы)
• Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек А. (2003), О кватернионах и октонионах: их геометрия, арифметика и симметрия , AK Peters, Ltd., ISBN  1-56881-134-9 . ( Обзор ).
• Дуплий , Стивен [на украинском языке] ; Сигел , Уоррен; Бэггер, Джонатан, ред. (2005), Краткая энциклопедия суперсимметрии и некоммутативных структур в математике и физике , Берлин, Нью-Йорк: Springer , ISBN  978-1-4020-1338-6 (Вторая печать)