Суперсингулярное простое число (теория самогона)

В математической отрасли теории самогона суперсингулярное простое число — это простое число которое делит порядок , группы монстров M , которая является крупнейшей спорадической простой группой . Существует ровно пятнадцать суперсингулярных простых чисел: первые одиннадцать простых чисел ( 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 и 31 ), а также 41 , 47 , 59 и 71 . (последовательность A002267 в OEIS )

Несуперсингулярные простые числа — это 37 , 43 , 53 , 61 , 67 и любое простое число, большее или равное 73 .

Суперсингулярные простые числа связаны с понятием суперсингулярных эллиптических кривых следующим образом. Для простого числа p следующие условия эквивалентны:

1. Модульная кривая X ₀ ⁺ ( p ) = X ₀ ( p ) / w _p , где w _p — инволюция Фрике X нулевой ₀ ( p ), имеет род .
2. Любая суперсингулярная эллиптическая кривая характеристики p может быть определена над простым подполем F _p .
3. Порядок группы Monster делится на p .

Эквивалентность принадлежит Эндрю Оггу . Точнее, в 1975 году Огг показал, что простые числа, удовлетворяющие первому условию, представляют собой в точности 15 суперсингулярных простых чисел, перечисленных выше, и вскоре после этого узнал о (тогда гипотетическом ) существовании спорадической простой группы, имеющей именно эти простые числа в качестве простых делителей. Это странное совпадение послужило началом теории чудовищного самогона .

Все суперсингулярные простые числа являются простыми числами Чена , но 37, 53 и 67 также являются простыми числами Чена, и существует бесконечно много простых чисел Чена, больших 73.

См. также

• Суперсингулярное простое число (алгебраическая теория чисел)

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Суперсингулярное простое число» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Спорадическая группа» . Математический мир .
• Огг, AP (1980). «Модульные функции». В Куперштейне, Брюс; Мейсон, Джеффри (ред.). Конференция Санта-Крус по конечным группам. Состоялось в Калифорнийском университете, Санта-Круз, Калифорния, 25 июня – 20 июля 1979 г. Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц. стр. 521–532. ISBN  0-8218-1440-0 . МР   0604631 .