Высокоструктурированный кольцевой спектр

В математике — высокоструктурированный кольцевой спектр или $A_{\infty }$ -кольцо — объект теории гомотопий , кодирующий уточнение мультипликативной структуры теории когомологий . Коммутативная версия $A_{\infty }$ -кольцо называется $E_{\infty }$ -кольцо. Первоначально они были мотивированы вопросами геометрической топологии и теории расслоений , но сегодня они чаще всего используются в стабильной теории гомотопий .

Фон

Высокоструктурированные кольцевые спектры имеют лучшие формальные свойства, чем теории мультипликативных когомологий - точка, используемая, например, при построении топологических модульных форм и которая позволила также создавать новые конструкции более классических объектов, таких как K-теория Моравы . Помимо своих формальных свойств, $E_{\infty }$ -структуры также важны в вычислениях, поскольку они допускают операции базовой теории когомологий, аналогичные (и обобщающие) хорошо известные операции Стинрода в обычных когомологиях. Поскольку не каждая теория когомологий допускает такие операции, не каждая мультипликативная структура может быть уточнена до $E_{\infty }$ -структура, и даже в тех случаях, когда это возможно, доказать это может оказаться непростой задачей.

Грубая идея высокоструктурированных кольцевых спектров заключается в следующем: если умножение в теории когомологий (аналогично умножению в сингулярных когомологиях, индуцирующее чашечное произведение ) удовлетворяет ассоциативности (и коммутативности) только с точностью до гомотопии, это слишком слабо для многих конструкций. (например, для пределов и копределов в смысле теории категорий). С другой стороны, наивное требование строгой ассоциативности (или коммутативности) является слишком ограничительным для многих желаемых примеров. Основная идея состоит в том, что отношения должны соответствовать только гомотопии, но эти гомотопии должны снова удовлетворять некоторым гомотопическим отношениям, гомотопии которых снова удовлетворяют некоторым дальнейшим гомотопическим условиям; и так далее. Классический подход организует эту структуру через операды , тогда как недавний подход Якоба Лурье имеет дело с ней, используя $\infty$ -операды в $\infty$ -категории. Сегодня наиболее широко используемые подходы используют язык модельных категорий . ^{[ нужна ссылка ]}

Все эти подходы зависят от тщательного построения базовой категории спектров .

Подходы к определению

Операды

Теория операд основана на изучении пространств петель . Пространство петель ΩX имеет умножение

\Omega X\times \Omega X\to \Omega X

по составу петель. Здесь два цикла ускоряются в 2 раза, и первый занимает интервал [0,1/2], а второй [1/2,1]. Это произведение не ассоциативно, поскольку скейлинги несовместимы, но оно ассоциативно с точностью до гомотопии, а гомотопии когерентны с точностью до высших гомотопий и так далее. Эту ситуацию можно уточнить, сказав, что ΩX — алгебра над малой интервальной операдой . Это пример $A_{\infty }$ -операда, то есть операда топологических пространств, которая гомотопически эквивалентна ассоциативной операде , но которая обладает соответствующей «свободой», позволяющей вещам соответствовать только гомотопии (кратко: любая кофибрантная замена ассоциативной операды). Ан $A_{\infty }$ -кольцевой спектр теперь можно представить как алгебру над $A_{\infty }$ -операция в подходящей категории спектров и подходящих условиях совместимости (см. май 1977 г.).

Для определения $E_{\infty }$ -кольцевых спектров, по сути, работает тот же подход, где заменяется $A_{\infty }$ -управляется $E_{\infty }$ -операда, т. е. операда стягиваемых топологических пространств с аналогичными условиями «свободы». Пример такой операды снова может быть мотивирован изучением пространств петель. Произведение пространства двойной петли $\Omega ^{2}X$ уже коммутативна с точностью до гомотопии, но эта гомотопия не удовлетворяет никаким высшим условиям. Чтобы получить полную когерентность высших гомотопий, нужно предположить, что это пространство (эквивалентно) n -кратному пространству петель для всех n . Это приводит к тому, что в $\infty$ -кубическая операда бесконечномерных кубов в бесконечномерном пространстве, которая является примером $E_{\infty }$ -операд.

Вышеупомянутый подход был впервые предложен Дж. Питером Мэем . Вместе с Эльмендорфом, Крицем и Манделлом он разработал в 90-х годах вариант своего старого определения спектров, так называемые S-модули (см. Elmendorf et al., 2007). S-модули обладают модельной структурой , гомотопическая категория которой является стабильной гомотопической категорией . В S-модулях категория модулей над $A_{\infty }$ -операда и категория моноидов эквивалентны Квиллену , как и категория модулей над $E_{\infty }$ -операда и категория коммутативных моноидов. Следовательно, можно ли определить $A_{\infty }$ -кольцевые спектры и $E_{\infty }$ -кольцевые спектры как (коммутативные) моноиды в категории S-модулей, так называемые (коммутативные) S-алгебры . Поскольку с (коммутативными) моноидами работать легче, чем с алгебрами над сложными операдами, этот новый подход во многих целях более удобен. Следует, однако, отметить, что реальное построение категории S-модулей технически весьма сложно.

Диаграмма спектров

Другой подход к рассмотрению высокоструктурированных кольцевых спектров как моноидов в подходящей категории спектров — это категории диаграммных спектров. Вероятно, самой известной из них является категория симметричных спектров, впервые предложенная Джеффом Смитом. Его основная идея заключается в следующем:

В самом наивном смысле спектр — это последовательность (точечных) пространств. $(X_{0},X_{1},\dots )$ вместе с картами $\Sigma X_{i}\to X_{i+1}$ , где ΣX обозначает подвеску . Другая точка зрения состоит в следующем: рассматривается категория последовательностей пространств вместе с моноидальной структурой, заданной смэш-произведением . Тогда последовательность сфер $(S^{0},S^{1},\dots )$ имеет структуру моноида, а спектры являются модулями над этим моноидом. Если бы этот моноид был коммутативным, то возникла бы моноидальная структура на категории модулей над ним (как в алгебре модули над коммутативным кольцом имеют тензорное произведение). Но моноидная структура последовательности сфер не является коммутативной из-за разного порядка координат.

Идея состоит в том, что теперь можно встроить изменения координат в определение последовательности: симметричная последовательность — это последовательность пробелов. $(X_{0},X_{1},\dots )$ вместе с действием n -й симметрической группы на $X_{n}$ . Если снабдить это подходящим моноидальным произведением, можно получить, что последовательность сфер является коммутативным моноидом. Теперь симметричные спектры являются модулями над последовательностью сфер, т. е. последовательностью пространств $(X_{0},X_{1},\dots )$ вместе с действием n -й симметрической группы на $X_{n}$ и карты $\Sigma X_{i}\to X_{i+1}$ удовлетворяющие подходящим условиям эквивалентности. Категория симметричных спектров имеет моноидальное произведение, обозначаемое $\wedge$ . Высокоструктурированный (коммутативный) кольцевой спектр теперь определяется как (коммутативный) моноид в симметричных спектрах, называемый (коммутативным) симметричным кольцевым спектром . Это сводится к предоставлению карт

X_{n}\wedge X_{m}\to X_{n+m},

которые удовлетворяют подходящим условиям эквивариантности, единства и ассоциативности (и коммутативности) (см. Schwede 2007).

Существует несколько модельных структур на симметричных спектрах, гомотопией которых является стабильная гомотопическая категория. Также здесь верно, что категория модулей над $A_{\infty }$ -операда и категория моноидов эквивалентны Квиллену , как и категория модулей над $E_{\infty }$ -операда и категория коммутативных моноидов.

Вариантом симметричных спектров являются ортогональные спектры , в которых симметричную группу заменяют ортогональной группой (см. Mandell et al., 2001). Их преимущество состоит в том, что наивно определенные гомотопические группы совпадают с группами из стабильной гомотопической категории, чего нельзя сказать о симметричных спектрах. (То есть спектр сферы теперь является кофибрантным.) С другой стороны, симметричные спектры имеют то преимущество, что их также можно определить для симплициальных множеств . Симметричные и ортогональные спектры, возможно, являются простейшими способами построения разумной симметричной моноидальной категории спектров.

Категории бесконечности

Категории бесконечности — это вариант классических категорий, в которых композиция морфизмов определена не однозначно, а только с точностью до сжимаемого выбора. Вообще говоря, не имеет смысла говорить, что диаграмма коммутирует строго в категории бесконечности, а только что она коммутирует с точностью до когерентной гомотопии. Можно определить бесконечную категорию спектров (как это сделал Лурье ). Можно также определить бесконечные версии (коммутативных) моноидов, а затем определить $A_{\infty }$ -кольцевые спектры как моноиды в спектрах и $E_{\infty }$ -кольцевые спектры как коммутативные моноиды в спектрах. Это разработано в книге Лурье « Высшая алгебра» .

Сравнение

Категории S-модулей, симметричных и ортогональных спектров и их категории (коммутативных) моноидов допускают сравнения через эквивалентности Квиллена благодаря работам нескольких математиков (включая Шведе). Несмотря на это, модельная категория S-модулей и модельная категория симметричных спектров ведут себя совершенно по-разному: в S-модулях каждый объект является фибрантным (что неверно в симметричных спектрах), тогда как в симметричных спектрах сферический спектр является кофибрантным. (что неверно в S-модулях). По теореме Льюиса невозможно построить одну категорию спектров, обладающую всеми желаемыми свойствами. Сравнение подхода к спектрам на основе категорий бесконечности с более классическим подходом на основе категорий модели для симметричных спектров можно найти в Высшей алгебре Лурье 4.4.4.9. ^{[ сомнительно – обсудить ]}

Примеры

Проще всего записать конкретные примеры. $E_{\infty }$ -кольцевые спектры в симметричных/ортогональных спектрах. Самый фундаментальный пример - спектр сферы с (каноническим) отображением умножения. $S^{n}\wedge S^{m}\to S^{n+m}$ . Также несложно записать карты умножения для спектров Эйленберга-Маклейна (представляющих обычные когомологии ) и некоторых спектров Тома (представляющих теории бордизмов ). Топологическая (действительная или комплексная) K-теория также является примером, но ее труднее получить: в симметричных спектрах используется интерпретация K-теории C *-алгеброй , в операдном подходе используется машина мультипликативной теории пространства с бесконечными петлями .

Более современный подход к поиску $E_{\infty }$ -уточнением теории мультипликативных когомологий является теория препятствий Гёрсса–Хопкинса . Удалось найти $E_{\infty }$ -кольцевые структуры в спектрах Любина–Тейта и в эллиптических спектрах . Аналогичным (но более старым) методом можно также показать, что К-теория Моравы , а также другие варианты когомологий Брауна-Петерсона обладают $A_{\infty }$ -кольцевая структура (см., например, Бейкер и Жаннере, 2002). Бастерра и Манделл показали, что когомологии Брауна–Петерсона имеют даже $E_{4}$ -кольцевая структура, где $E_{4}$ -структура определяется путем замены операды бесконечномерных кубов в бесконечномерном пространстве на 4-мерные кубы в 4-мерном пространстве в определении $E_{\infty }$ -кольцевые спектры. С другой стороны, Тайлер Лоусон показал, что когомологии Брауна–Петерсона не имеют $E_{\infty }$ структура.

Конструкции

Высокоструктурированные кольцевые спектры допускают множество конструкций.

Они образуют модельную категорию, и поэтому существуют (гомотопические) пределы и копределы.
Модули в высокоструктурированном кольцевом спектре образуют стабильную модельную категорию . В частности, их гомотопическая категория триангулирована . Если кольцевой спектр имеет $E_{2}$ -структура, категория модулей имеет моноидальное произведение ; если это хотя бы $E_{4}$ , то оно имеет симметричное моноидальное (смэш) произведение.
Можно формировать групповые кольцевые спектры.
Можно определить алгебраическую K-теорию , топологические гомологии Хохшильда и т. д. высокоструктурированного кольцевого спектра.
Можно определить пространство единиц, что имеет решающее значение для некоторых вопросов ориентируемости расслоений.

См. также

Ссылки

Ссылки на _{E ∞ -колец} спектры

Эльмендорф, AD; Криз, И.; Манделл, Массачусетс; Мэй, JP (2007). Кольца, модули и алгебры в стабильной теории гомотопий . АМС. ISBN 978-0-8218-4303-1 .
Мэй, Дж. Питер (1977). $E_{\infty }$ -кольцевые пространства и $E_{\infty }$ -кольцевые спектры . Спрингер.
Мэй, Дж. Питер (2009). «Что именно такое $E_{\infty }$ кольцевые пространства и $E_{\infty }$ кольцевые спектры?". Монографии по геометрии и топологии . 16 : 215–282. arXiv : 0903.2813 . doi : 10.2140/gtm.2009.16.215 .

Ссылки на структуру спектров E _∞ -колец

Бастерра, М.; Манделл, Массачусетс (2005). « Гомологии и когомологии кольцевых спектров E-бесконечности » (PDF)
Лоусон, Т. (2017). «Расчет групп препятствий для $E_{\infty }$ -кольцевые спектры». arXiv : 1709.09629 [ math.AT ].

Ссылки на конкретные примеры

Бейкер, А.; Жаннере, А. (2002). «Дивные новые алгеброиды Хопфа и расширения MU -алгебр» . Гомология, гомотопия и приложения . 4 (1): 163–173. дои : 10.4310/HHA.2002.v4.n1.a9 .
Бастерра, М.; Манделл, Массачусетс (июнь 2013 г.). «Умножение на БП» (PDF) . Журнал топологии . 6 (2): 285–310. arXiv : 1101.0023 . дои : 10.1112/jtopol/jts032 . S2CID 119652118 . Архивировано из оригинала (PDF) 6 февраля 2015 г.

Общие ссылки на соответствующие спектры

Лурье, Дж. «Высшая алгебра» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 6 февраля 2015 г.
Манделл, Массачусетс; Мэй, JP; Шведе, С.; Шипли, Б. (2001). «Модельные категории спектров диаграмм» (PDF) . Учеб. Лондонская математика. Соц . 82 (2): 441–512. дои : 10.1112/S0024611501012692 . S2CID 551246 .
Рихтер, Б. (2017). «Коммутативные кольцевые спектры». arXiv : 1710.02328 [ math.AT ].
Шведе, С. (2001). «S-модули и симметричные спектры» (PDF) . Математика. Энн . 319 (3): 517–532. дои : 10.1007/PL00004446 . S2CID 6866612 .
Шведе С. Шведе, С. (2007). «Книжный проект без названия о симметричных спектрах» (PDF) .

Фон