Сферические гармоники

«Илм» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. YLM (значения) .

Визуальные представления первых нескольких реальных сферических гармоник. Синие части представляют области, где функция положительна, а желтые части представляют области, где она отрицательна. Расстояние поверхности от начала координат указывает на абсолютное значение $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ в угловом направлении $(\theta ,\varphi )$.

В математике и физике определяемые сферические гармоники представляют собой особые функции, на поверхности сферы . Они часто используются при решении уравнений в частных производных во многих научных областях. Таблица сферических гармоник содержит список распространенных сферических гармоник.

Поскольку сферические гармоники образуют полный набор ортогональных функций и, следовательно, ортонормированный базис , каждую функцию, определенную на поверхности сферы, можно записать как сумму этих сферических гармоник. Это похоже на периодические функции, определенные на окружности, которые можно выразить как сумму круговых функций (синусов и косинусов) через ряд Фурье . Подобно синусам и косинусам в рядах Фурье, сферические гармоники могут быть организованы по (пространственной) угловой частоте , как видно из рядов функций на рисунке справа. Кроме того, сферические гармоники являются базисными функциями для неприводимых представлений SO (3) , группы вращений в трех измерениях, и, таким образом, играют центральную роль в теоретико-групповом обсуждении SO(3).

Сферические гармоники возникают в результате решения уравнения Лапласа в сферических областях. Функции, являющиеся решениями уравнения Лапласа, называются гармониками . Несмотря на свое название, сферические гармоники принимают простейшую форму в декартовых координатах , где их можно определить как однородные степени полиномы $\ell$ в $(x,y,z)$ подчиняющиеся уравнению Лапласа. Связь со сферическими координатами возникает сразу, если с помощью однородности выделить фактор радиальной зависимости $r^{\ell }$ из упомянутого выше полинома степени $\ell$; оставшийся множитель можно рассматривать как функцию сферических угловых координат $\theta$ и $\varphi$ только или, что эквивалентно, ориентации единичный вектор $\mathbf {r}$ определяется этими углами. В этом случае их можно рассматривать как угловую часть набора решений уравнения Лапласа в трех измерениях, и эта точка зрения часто используется как альтернативное определение. Однако заметим, что сферические гармоники не являются функциями на сфере, гармоничными относительно оператора Лапласа-Бельтрами для стандартной круглой метрики на сфере: единственными гармоническими функциями в этом смысле на сфере являются константы, поскольку гармонические функции удовлетворять принципу максимума . Сферические гармоники, как функции на сфере, являются собственными функциями оператора Лапласа-Бельтрами (см. Высшие измерения ).

Определенный набор сферических гармоник, обозначаемый $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ или $Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })$, известны как сферические гармоники Лапласа, поскольку они были впервые представлены Пьером Симоном де Лапласом в 1782 году. Эти функции образуют ортогональную систему и, таким образом, являются основой для разложения общей функции на сфере, как упоминалось выше.

Сферические гармоники важны во многих теоретических и практических приложениях, включая представление мультипольных электростатических и электромагнитных полей , электронных конфигураций , гравитационных полей , геоидов , магнитных полей планетарных тел и звезд, а также космического микроволнового фонового излучения . В 3D-компьютерной графике сферические гармоники играют роль в самых разных темах, включая непрямое освещение ( окклюзия окружающей среды , глобальное освещение , заранее вычисленная передача излучения и т. д.) и моделирование 3D-форм.

История

Пьер-Симон Лаплас , 1749–1827 гг.

Сферические гармоники были впервые исследованы в связи с ньютоновским потенциалом закона всемирного тяготения Ньютона в трех измерениях. В 1782 году Пьер-Симон де Лаплас в своей «Небесной механике» определил, что гравитационный потенциал $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ в точке x, связанной с набором точечных масс m _i, расположенных в точках x _i, было задано выражением

$$V(\mathbf {x} )=\sum _{i}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}.$$

Каждый член в приведенном выше суммировании представляет собой отдельный ньютоновский потенциал для точечной массы. Незадолго до этого Адриен-Мари Лежандр исследовал разложение ньютоновского потенциала по степеням r = | х | и р ₁ = | х ₁ | . Он обнаружил, что если r ≤ r _1, то

$${\frac {1}{|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} |}}=P_{0}(\cos \gamma ){\frac {1}{r_{1}}}+P_{1}(\cos \gamma ){\frac {r}{r_{1}^{2}}}+P_{2}(\cos \gamma ){\frac {r^{2}}{r_{1}^{3}}}+\cdots$$

где γ – угол между векторами x и x ₁ . Функции $P_{i}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ являются полиномами Лежандра , и их можно вывести как частный случай сферических гармоник. Впоследствии, в своих мемуарах 1782 года, Лаплас исследовал эти коэффициенты, используя сферические координаты для представления угла γ между x ₁ и x . ( см. в разделе «Применение полиномов Лежандра в физике Более подробный анализ ».)

В 1867 году Уильям Томсон (лорд Кельвин) и Питер Гатри Тейт представили твердые сферические гармоники в своем «Трактате о естественной философии» , а также впервые ввели для этих функций название «сферические гармоники». Твердые гармоники представляли собой однородные полиномиальные решения. $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ Лапласа уравнения $${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0.$$Исследуя уравнение Лапласа в сферических координатах, Томсон и Тейт восстановили сферические гармоники Лапласа. (См. Представление гармонического полинома .) Термин «коэффициенты Лапласа» был использован Уильямом Уэвеллом для описания конкретной системы решений, введенных в этом направлении, тогда как другие зарезервировали это обозначение для зональных сферических гармоник , которые были правильно введены Лапласом и Лежандром.

в XIX веке Развитие рядов Фурье сделало возможным решение широкого спектра физических задач в прямоугольных областях, таких как решение уравнения теплопроводности и волнового уравнения . Этого можно достичь разложением функций в ряды по тригонометрическим функциям . В то время как тригонометрические функции в ряду Фурье представляют основные формы вибрации струны , сферические гармоники представляют основные формы вибрации сферы почти таким же образом. Многие аспекты теории рядов Фурье можно было бы обобщить, взяв разложения по сферическим гармоникам, а не по тригонометрическим функциям. Более того, аналогично тому, как тригонометрические функции могут быть эквивалентно записаны как комплексные экспоненты , сферические гармоники также имели эквивалентную форму как комплекснозначные функции. Это было благом для решения задач, обладающих сферической симметрией , например, задач небесной механики, первоначально изучавшихся Лапласом и Лежандром.

Преобладание сферических гармоник уже в физике подготовило почву для их дальнейшего значения в зарождении квантовой механики в 20 веке . (Комплексные) сферические гармоники $S^{2}\to \mathbb {C}$ являются собственными функциями квадрата орбитального углового момента оператора $$-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla ,$$и поэтому они представляют собой различные квантованные конфигурации атомных орбиталей .

Сферические гармоники Лапласа

Реальные (лапласовские) сферические гармоники $Y_{\ell m}$ для $\ell =0,\dots ,4$ (сверху вниз) и $m=0,\dots ,\ell$ (слева направо). Зональные, секторальные и тессеральные гармоники изображены вдоль крайнего левого столбца, главной диагонали и в других местах соответственно. (Гармоники отрицательного порядка $Y_{\ell (-m)}$ будет показано повернутым вокруг оси z на $90^{\circ }/m$ по отношению к положительному порядку.)

Альтернативная картина для реальных сферических гармоник. $Y_{\ell m}$.

Уравнение Лапласа предполагает, что лапласиан скалярного поля f равен нулю. (Здесь скалярное поле понимается как комплексное, т.е. соответствующее (гладкой) функции $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$.) В сферических координатах это:

$$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$$

Рассмотрим задачу поиска решений вида f ( р , θ , φ ) знак равно р ( р ) Y ( θ , φ ) . В результате разделения переменных в результате применения уравнения Лапласа получаются два дифференциальных уравнения: $${\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .$$Второе уравнение можно упростить, если предположить, что Y имеет вид Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Повторное применение разделения переменных ко второму уравнению уступает место паре дифференциальных уравнений.

$${\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}$$$$\lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}$$

для некоторого числа m . Априори m является комплексной константой, но поскольку Φ должна быть периодической функцией , период которой делит 2 π нацело , m обязательно является целым числом, а Φ является линейной комбинацией комплексных экспонент e ^{± imφ} . Функция решения Y ( θ , φ ) регулярна в полюсах сферы, где θ = 0, π . Наложение этой закономерности на решение Θ второго уравнения в граничных точках области представляет собой задачу Штурма–Лиувилля , которая заставляет параметр λ иметь вид λ = ℓ ( ℓ + 1) для некоторого неотрицательного целого числа с ℓ ≥ | м | ; это также объясняется ниже с точки зрения орбитального углового момента . Кроме того, замена переменных t = cos θ преобразует это уравнение в уравнение Лежандра , решение которого кратно соответствующему полиному Лежандра P ^м
_ℓ (потому что θ ) . Наконец, уравнение для R имеет решения вида R ( r ) = A r ^ℓ + Б р ^{- ℓ - 1} ; требуя, чтобы решение было регулярным во всем R ³ силы B = 0 .

Здесь предполагалось, что решение имеет специальный вид Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Для данного значения ℓ существует 2 ℓ + 1 независимых решений этого вида, по одному для каждого целого числа m с − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Эти угловые решения $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ являются произведением тригонометрических функций , представленных здесь в виде комплексной экспоненты , и связанных с ними полиномов Лежандра:

$$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })$$

которые выполняют $$r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$$

Здесь $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ называется сферической гармонической функцией степени ℓ и порядка m , $P_{\ell }^{m}:[-1,1]\to \mathbb {R}$ – ассоциированный полином Лежандра , N – константа нормализации, а θ и φ представляют широту и долготу соответственно. В частности, широта θ , или полярный угол, колеблется от 0 на Северном полюсе до π /2 на экваторе, до π на Южном полюсе, а долгота φ или азимут может принимать все значения с 0 ≤ φ. < 2 π . Для фиксированного целого числа ℓ каждое решение Y ( θ , φ ) , $Y:S^{2}\to \mathbb {C}$, проблемы собственных значений $$r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y$$представляет линейную комбинацию собой $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$. Фактически, для любого такого решения r ^ℓ Y ( θ , φ ) — выражение в сферических координатах однородного многочлена $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ это гармонически (см. ниже ), и поэтому подсчет размерностей показывает, что существует 2 ℓ + 1 линейно независимых таких многочленов.

Общее решение $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ к уравнению Лапласа $\Delta f=0$ в шаре с центром в начале координат представляет собой линейную комбинацию сферических гармонических функций, умноженных на соответствующий масштабный коэффициент r. ^ℓ ,

$$f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),$$

где $f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C}$ являются константами, а факторы r ^ℓ Ю _ℓ ^м известны как ( регулярные ) твердые гармоники $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$. Такое разложение справедливо в шаре

$$r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.$$

Для $r>R$, сплошные гармоники с отрицательными степенями $r$ ( нерегулярные твердые гармоники $\mathbb {R} ^{3}\setminus \{\mathbf {0} \}\to \mathbb {C}$) выбраны вместо этого. В этом случае необходимо расширить решение известных областей в ряд Лорана (около $r=\infty$), вместо ряда Тейлора (о $r=0$), использованный выше, для сопоставления терминов и нахождения коэффициентов разложения в ряд $f_{\ell }^{m}\in \mathbb {C}$.

Орбитальный угловой момент

В квантовой механике сферические гармоники Лапласа понимаются в терминах орбитального углового момента. $$\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } )=L_{x}\mathbf {i} +L_{y}\mathbf {j} +L_{z}\mathbf {k} .$$ħ ; является общепринятым в квантовой механике удобно работать в единицах, в которых ħ = 1 . Сферические гармоники являются собственными функциями квадрата орбитального углового момента. $${\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}&=-r^{2}\nabla ^{2}+\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}+1\right)r{\frac {\partial }{\partial r}}\\&=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}.\end{aligned}}$$Сферические гармоники Лапласа представляют собой совместные собственные функции квадрата орбитального углового момента и генератора вращений вокруг азимутальной оси: $${\begin{aligned}L_{z}&=-i\left(x{\frac {\partial }{\partial y}}-y{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\\&=-i{\frac {\partial }{\partial \varphi }}.\end{aligned}}$$

Эти операторы коммутируют и представляют собой плотно определенные самосопряженные операторы во взвешенном гильбертовом пространстве функций f , интегрируемых с квадратом относительно нормального распределения как весовая функция на R ³ : $${\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {R} ^{3}}|f(x)|^{2}e^{-|x|^{2}/2}\,dx<\infty .$$Кроме того, Л ² является положительным оператором .

Если Y — совместная собственная функция L ² и L _z , то по определению $${\begin{aligned}\mathbf {L} ^{2}Y&=\lambda Y\\L_{z}Y&=mY\end{aligned}}$$для некоторых действительных чисел m и λ . Здесь m на самом деле должно быть целым числом, поскольку Y должно быть периодическим по координате φ с периодом, числом, которое делит 2 π нацело . Кроме того, поскольку $$\mathbf {L} ^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}$$и каждый из L _x , L _y , L _z самосопряжен, то λ ≥ m ² .

Обозначим это совместное собственное пространство через E _{λ , m} и определим операторы повышения и понижения через $${\begin{aligned}L_{+}&=L_{x}+iL_{y}\\L_{-}&=L_{x}-iL_{y}\end{aligned}}$$Тогда L ₊ и L ₋ коммутируют с L ² , а алгебра Ли, порожденная L ₊ , L ₋ , L _z, является специальной линейной алгеброй Ли порядка 2, ${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {C} )$, с коммутационными соотношениями $$[L_{z},L_{+}]=L_{+},\quad [L_{z},L_{-}]=-L_{-},\quad [L_{+},L_{-}]=2L_{z}.$$Таким образом, L ₊ : E _{λ , m} → E _{λ , m +1} (это «повышающий оператор») и L ₋ : E _{λ , m} → E _{λ , m −1} (это «понижающий оператор»). В частности, Л ^к
₊ : E _{λ , m} → E _{λ , m + k} должно быть равно нулю при достаточно большом k , поскольку неравенство λ ≥ m ² должно выполняться в каждом из нетривиальных собственных пространств суставов. Пусть Y ∈ E _{λ , m} — ненулевая совместная собственная функция, и пусть k — наименьшее целое число такое, что $$L_{+}^{k}Y=0.$$Тогда, поскольку $$L_{-}L_{+}=\mathbf {L} ^{2}-L_{z}^{2}-L_{z}$$отсюда следует, что $$0=L_{-}L_{+}^{k}Y=(\lambda -(m+k)^{2}-(m+k))Y.$$Таким образом, λ = ℓ ( ℓ + 1) для натурального числа ℓ = m + k .

Все вышеизложенное было разработано в сферическом представлении координат: $\langle \theta ,\varphi |lm\rangle =Y_{l}^{m}(\theta ,\varphi )$ но может быть выражено более абстрактно в полном ортонормированном сферическом кет-базисе .

Гармоническое полиномиальное представление

См. также: § Высшие измерения.

Сферические гармоники можно выразить как ограничение на единичную сферу некоторых полиномиальных функций. $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$. В частности, мы говорим, что (комплекснозначная) полиномиальная функция $p:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ является однородным по степени $\ell$ если $$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} )$$для всех действительных чисел $\lambda \in \mathbb {R}$ и все $x\in \mathbb {R} ^{3}$. Мы говорим, что $p$ гармонична , если $$\Delta p=0,$$где $\Delta$ является лапласианом . Тогда для каждого $\ell$, мы определяем $$\mathbf {A} _{\ell }=\left\{{\text{harmonic polynomials }}\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C} {\text{ that are homogeneous of degree }}\ell \right\}.$$

Например, когда $\ell =1$, $\mathbf {A} _{1}$ это просто трехмерное пространство всех линейных функций $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$, поскольку любая такая функция автоматически является гармонической. Между тем, когда $\ell =2$, у нас есть 5-мерное пространство: $$\mathbf {A} _{2}=\operatorname {span} _{\mathbb {C} }(x_{1}x_{2},\,x_{1}x_{3},\,x_{2}x_{3},\,x_{1}^{2}-x_{2}^{2},\,x_{1}^{2}-x_{3}^{2}).$$

Для любого $\ell$, пространство $\mathbf {H} _{\ell }$ сферических гармоник степени $\ell$ это просто пространство ограничений сферы $S^{2}$ элементов $\mathbf {A} _{\ell }$. Как было предложено во введении, эта точка зрения, по-видимому, является источником термина «сферическая гармоника» (т. е. ограничение сферы гармонической функции ).

Например, для любого $c\in \mathbb {C}$ формула $$p(x_{1},x_{2},x_{3})=c(x_{1}+ix_{2})^{\ell }$$определяет однородный полином степени $\ell$ с доменом и кодоменом $\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$, который оказывается независимым от $x_{3}$. Легко видеть, что этот многочлен гармоничен. Если мы напишем $p$ в сферических координатах $(r,\theta ,\varphi )$ а затем ограничиться $r=1$, мы получаем $$p(\theta ,\varphi )=c\sin(\theta )^{\ell }(\cos(\varphi )+i\sin(\varphi ))^{\ell },$$который можно переписать как $$p(\theta ,\varphi )=c\left({\sqrt {1-\cos ^{2}(\theta )}}\right)^{\ell }e^{i\ell \varphi }.$$После использования формулы для соответствующего полинома Лежандра $P_{\ell }^{\ell }$, мы можем признать это формулой сферической гармоники $Y_{\ell }^{\ell }(\theta ,\varphi ).$ (См. Особые случаи .)

Конвенции

Ортогональность и нормализация

Для сферических гармонических функций Лапласа обычно используются несколько различных нормировок. $S^{2}\to \mathbb {C}$. На протяжении всего раздела мы используем стандартное соглашение, согласно которому для $m>0$ (см. связанные полиномы Лежандра ) $$P_{\ell }^{-m}=(-1)^{m}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}P_{\ell }^{m}$$что является естественной нормировкой, заданной формулой Родригеса.

График сферической гармоники $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ с $\ell =2$ и $m=1$ и $\varphi =\pi$ в комплексной плоскости из $-2-2i$ к $2+2i$ с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В акустике , сферические гармоники Лапласа обычно определяются как (это соглашение используется в этой статье) $$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$$а в квантовой механике : $$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=(-1)^{m}{\sqrt {{\frac {(2\ell +1)}{4\pi }}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$$

где $P_{\ell }^{m}$ являются ассоциированными полиномами Лежандра без фазы Кондона – Шортли (чтобы избежать двойного счета фазы).

В обоих определениях сферические гармоники ортонормированы. $$\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},$$где δ _ij — дельта Кронекера и d Ω = sin( θ ) dφ dθ . Эта нормализация используется в квантовой механике, поскольку она гарантирует, что вероятность нормирована, т. е. $$\int {|Y_{\ell }^{m}|^{2}d\Omega }=1.$$

Дисциплины геодезии и спектрального анализа

$$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1)}{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$$

которые обладают единичной мощностью

$${\frac {1}{4\pi }}\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.$$

Магнетика ​ сообщество, напротив, использует полунормализованные гармоники Шмидта.

$$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }$$

которые имеют нормировку

$$\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'}{}^{*}d\Omega ={\frac {4\pi }{(2\ell +1)}}\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'}.$$

В квантовой механике эта нормализация также иногда используется и называется нормализацией Рака в честь Джулио Рака .

Можно показать, что все приведенные выше нормированные сферические гармонические функции удовлетворяют

$$Y_{\ell }^{m}{}^{*}(\theta ,\varphi )=(-1)^{-m}Y_{\ell }^{-m}(\theta ,\varphi ),$$

где верхний индекс * обозначает комплексное сопряжение. Альтернативно, это уравнение следует из связи сферических гармонических функций с D-матрицей Вигнера .

Фаза Кондона – Шортли

Один из источников путаницы с определением сферических гармонических функций касается фазового коэффициента $(-1)^{m}$, обычно называемая фазой Кондона – Шортли в литературе по квантовой механике. В сообществе квантовой механики принято либо включать этот фазовый коэффициент в определение связанных полиномов Лежандра , либо добавлять его к определению сферических гармонических функций. Нет необходимости использовать фазу Кондона-Шортли при определении сферических гармонических функций, но ее включение может упростить некоторые квантовомеханические операции, особенно применение операторов повышения и понижения . Геодезия Сообщества магнетиков никогда не включают фазовый фактор Кондона – Шортли ни в свои определения сферических гармонических функций, ни в определения связанных с ними полиномов Лежандра.

Реальная форма

Реальная основа сферических гармоник $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ могут быть определены через их комплексные аналоги $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ установив $${\begin{aligned}Y_{\ell m}&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{m}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{-m}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-m}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{m}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\dfrac {i}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}-(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell }^{-|m|}+(-1)^{m}\,Y_{\ell }^{|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\\&={\begin{cases}{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Im [{Y_{\ell }^{|m|}}]&{\text{if}}\ m<0\\Y_{\ell }^{0}&{\text{if}}\ m=0\\{\sqrt {2}}\,(-1)^{m}\,\Re [{Y_{\ell }^{m}}]&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}\end{aligned}}$$Для обеспечения последовательности здесь используется фазовое соглашение Кондона – Шортли. Соответствующие обратные уравнения, определяющие комплексные сферические гармоники $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ в терминах реальных сферических гармоник $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ являются $$Y_{\ell }^{m}={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}-iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m<0\\[4pt]Y_{\ell 0}&{\text{if}}\ m=0\\[4pt]{\dfrac {(-1)^{m}}{\sqrt {2}}}\left(Y_{\ell |m|}+iY_{\ell ,-|m|}\right)&{\text{if}}\ m>0.\end{cases}}$$

Настоящие сферические гармоники $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ иногда называют тессеральными сферическими гармониками . Эти функции обладают теми же свойствами ортонормированности, что и комплексные. $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ выше. Настоящие сферические гармоники $Y_{\ell m}$ с m > 0 называются косинусными, а с m < 0 — синусоидальными. Причину этого можно увидеть, записав функции через полиномы Лежандра как $$Y_{\ell m}={\begin{cases}\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -|m|)!}{(\ell +|m|)!}}}}\;P_{\ell }^{|m|}(\cos \theta )\ \sin(|m|\varphi )&{\text{if }}m<0\\[4pt]{\sqrt {\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}}\ P_{\ell }^{m}(\cos \theta )&{\text{if }}m=0\\[4pt]\left(-1\right)^{m}{\sqrt {2}}{\sqrt {{\dfrac {2\ell +1}{4\pi }}{\dfrac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}}\;P_{\ell }^{m}(\cos \theta )\ \cos(m\varphi )&{\text{if }}m>0\,.\end{cases}}$$

Те же самые факторы синуса и косинуса можно увидеть в следующем подразделе, посвященном декартову представлению.

См . здесь список реальных сферических гармоник до и включительно. $\ell =4$, что, как можно видеть, согласуется с результатами приведенных выше уравнений.

Использование в квантовой химии

Как известно из аналитических решений атома водорода, собственные функции угловой части волновой функции представляют собой сферические гармоники. Однако решения нерелятивистского уравнения Шредингера без магнитных членов могут быть реализованы. Вот почему вещественные формы широко используются в базисных функциях квантовой химии, поскольку в этом случае программам не требуется использовать комплексную алгебру. Здесь действительные функции занимают то же пространство, что и комплексные.

Например, как видно из таблицы сферических гармоник , обычные p- функции ( $\ell =1$) являются сложными и смешивают направления осей, но настоящие версии , по сути, представляют собой просто x , y и z .

Сферические гармоники в декартовой форме

Сложные сферические гармоники $Y_{\ell }^{m}$ порождают твердые гармоники, простираясь от $S^{2}$ всем $\mathbb {R} ^{3}$ как однородную функцию степени $\ell$, то есть установка $$R_{\ell }^{m}(v):=\|v\|^{\ell }Y_{\ell }^{m}\left({\frac {v}{\|v\|}}\right)$$Оказывается, $R_{\ell }^{m}$ является базой пространства гармонических и однородных многочленов степени $\ell$. Точнее, это (единственный с точностью до нормировки) базис Гельфанда-Цетлина этого представления вращательной группы. $SO(3)$ и явная формула для $R_{\ell }^{m}$ из этого факта можно вывести в декартовых координатах.

Производящая функция Герглотца

Если принять квантовомеханическую конвенцию для $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$, затем $$e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).$$Здесь, $\mathbf {r}$ вектор с компонентами $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$, $r=|\mathbf {r} |$, и $${\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i{\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat {y}} }\right).$$$\mathbf {a}$ представляет собой вектор с комплексными координатами:

$\mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({\frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].$

Основное свойство $\mathbf {a}$ в том, что оно равно нулю: $$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.$$

достаточно взять $v$ и $\lambda$ как реальные параметры.Называя эту производящую функцию в честь Герглотца , мы следуем Куранту и Гильберту 1962 , §VII.7, которые приписывают ее открытие неопубликованным заметкам.

По сути, все свойства сферических гармоник могут быть получены из этой производящей функции. Непосредственное преимущество этого определения состоит в том, что если вектор $\mathbf {r}$ заменяется квантовомеханическим оператором вектора спина $\mathbf {J}$, такой, что ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ является операторным аналогом сплошной гармоники $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$, получается производящая функция для стандартизированного набора сферических тензорных операторов : ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$:

$$e^{v{\mathbf {a} }\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).$$

Параллелизм двух определений обеспечивает ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}$преобразуется при вращении (см. ниже) так же, как и $Y_{\ell }^{m}$'s, что, в свою очередь, гарантирует, что они являются операторами сферических тензоров, $T_{q}^{(k)}$, с $k={\ell }$ и $q=m$, подчиняющийся всем свойствам таких операторов, таким как теорема композиции Клебша-Гордана и теорема Вигнера-Экарта . Более того, они представляют собой стандартизированный набор с фиксированной шкалой или нормализацией.

Смотрите также: Сферическая основа

Отдельная декартова форма

Определение Герглотца дает полиномы, которые при желании можно дополнительно разложить на многочлены $z$ и еще один из $x$ и $y$, следующим образом (фаза Кондона – Шортли): $$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\left(-1\right)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}},\qquad m>0.$$и для m = 0 : $$r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.$$Здесь $$A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\cos \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),$$$$B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{m-p}\sin \left((m-p){\frac {\pi }{2}}\right),$$и $${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\right]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lfloor (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$$Для $m=0$ это сводится к $${\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{\ell -2k}.$$

Фактор ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ по существу является ассоциированным полиномом Лежандра $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$и факторы $(A_{m}\pm iB_{m})$ по существу $e^{\pm im\varphi }$.

Примеры

Используя выражения для ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$, $A_{m}(x,y)$, и $B_{m}(x,y)$ перечисленные явно выше, получаем: $$Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \theta e^{i\varphi }\right)$$

$$Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)$$Можно проверить, что это соответствует функции, перечисленной здесь и здесь .

Реальные формы

Используя приведенные выше уравнения для формирования реальных сферических гармоник, видно, что для $m>0$ только $A_{m}$ члены (косинусы) включены, а для $m<0$ только $B_{m}$ слагаемые (синусы) включены:

$$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix}},\qquad m>0.$$и для m = 0: $$r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}.$$

Особые случаи и значения

1. Когда $m=0$, сферические гармоники $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ свести к обычным полиномам Лежандра : $$Y_{\ell }^{0}(\theta ,\varphi )={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}P_{\ell }(\cos \theta ).$$
2. Когда $m=\pm \ell$, $$Y_{\ell }^{\pm \ell }(\theta ,\varphi )={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}\sin ^{\ell }\theta \,e^{\pm i\ell \varphi },$$ или проще говоря в декартовых координатах, $$r^{\ell }Y_{\ell }^{\pm \ell }({\mathbf {r} })={\frac {(\mp 1)^{\ell }}{2^{\ell }\ell !}}{\sqrt {\frac {(2\ell +1)!}{4\pi }}}(x\pm iy)^{\ell }.$$
3. На северном полюсе, где $\theta =0$, и $\varphi$ не определено, все сферические гармоники, кроме тех, у которых $m=0$ исчезнуть: $$Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}\delta _{m0}.$$

Свойства симметрии

Сферические гармоники обладают глубокими и последовательными свойствами при операциях пространственной инверсии (четности) и вращения.

Паритет

Основная статья: Паритет (физика)

Сферические гармоники имеют определенную четность. То есть они либо четные, либо нечетные относительно обращения относительно начала координат. Инверсия представлена ​​оператором $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$. Тогда, как можно увидеть разными способами (возможно, наиболее просто из производящей функции Герглотца), при $\mathbf {r}$ будучи единичным вектором, $$Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} ).$$

В терминах сферических углов четность преобразует точку с координатами $\{\theta ,\varphi \}$ к $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$. Тогда утверждение о четности сферических гармоник имеет вид $$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$$(Это можно увидеть следующим образом: соответствующие полиномы Лежандра дают (−1) ^{ℓ + м} и из показательной функции имеем (−1) ^м , что дает для сферических гармоник четность (−1) ^ℓ .)

Четность продолжает сохраняться для реальных сферических гармоник и для сферических гармоник в более высоких измерениях: применение точечного отражения к сферической гармонике степени ℓ раз . меняет знак в (−1) ^ℓ .

Ротации

Вращение действительной сферической функции с m = 0 и ℓ = 3 . Коэффициенты не равны D-матрицам Вигнера, поскольку показаны действительные функции, но могут быть получены путем переразложения комплексных функций

Рассмотрим вращение ${\mathcal {R}}$ о начале координат, которое отправляет единичный вектор $\mathbf {r}$ к $\mathbf {r} '$. При этой операции образуется сферическая гармоника степени $\ell$ и заказать $m$ превращается в линейную комбинацию сферических гармоник одной степени. То есть, $$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),$$где $A_{mm'}$ это матрица порядка $(2\ell +1)$ это зависит от вращения ${\mathcal {R}}$. Однако это не стандартный способ выражения этого свойства. Стандартным способом пишут:

$$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} }),$$где $D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}$ является комплексно-сопряженным элементом D-матрицы Вигнера . В частности, когда $\mathbf {r} '$ это $\phi _{0}$ поворотом по азимуту получаем тождество,

$$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0}}.$$

Вращательное поведение сферических гармоник, возможно, является их наиболее существенной особенностью с точки зрения теории групп. $Y_{\ell }^{m}$степени $\ell$ предоставить базовый набор функций для неприводимого представления группы SO (3) размерности $(2\ell +1)$. Многие факты о сферических гармониках (например, теорема сложения), кропотливо доказываемые методами анализа, приобретают более простые доказательства и более глубокое значение с помощью методов симметрии.

Расширение сферических гармоник

Сферические гармоники Лапласа $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ образуют полный набор ортонормированных функций и, таким образом, образуют ортонормированный базис гильбертова пространства функций , интегрируемых с квадратом. $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$. На единичной сфере $S^{2}$, любая интегрируемая с квадратом функция $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ таким образом, можно разложить как линейную комбинацию из них:

$$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$$

Это разложение справедливо в смысле среднеквадратичной сходимости — сходимости в L ² сферы, то есть

$$\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.$$

Коэффициенты разложения являются аналогами коэффициентов Фурье и могут быть получены путем умножения приведенного выше уравнения на комплексно-сопряженную сферическую гармонику, интегрирования по телесному углу Ω и использования приведенных выше соотношений ортогональности. Это строго обосновано базовой теорией гильбертова пространства. Для случая ортонормированных гармоник это дает:

$$f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).$$

Если коэффициенты убывают в ℓ достаточно быстро — например, экспоненциально — то ряд также сходится равномерно к f .

Интегрируемая с квадратом функция $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ также можно разложить по действительным гармоникам $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ выше как сумма

$$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi ).$$

Сходимость ряда снова имеет место в том же смысле, а именно по действительным сферическим гармоникам $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ образуют полный набор ортонормированных функций и, таким образом, образуют ортонормированный базис гильбертова пространства функций , интегрируемых с квадратом. $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$. Выгода от разложения по действительным гармоническим функциям $Y_{\ell m}$ это для реальных функций $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ коэффициенты расширения $f_{\ell m}$ гарантированно действительны, а их коэффициенты $f_{\ell }^{m}$ в их расширении с точки зрения $Y_{\ell }^{m}$ (рассматривая их как функции $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$) не обладают этим свойством.

Спектральный анализ

Спектр мощности при обработке сигналов

Полная мощность функции f определяется в литературе по обработке сигналов как интеграл от квадрата функции, деленный на площадь ее области определения. Используя свойства ортонормированности действительных сферических гармонических функций единичной степени, несложно проверить, что полная степень функции, определенной на единичной сфере, связана с ее спектральными коэффициентами посредством обобщения теоремы Парсеваля (здесь теорема сформулирована для полунормализованных гармоник Шмидта соотношение несколько иное для ортонормированных гармоник):

$${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),$$где $$S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m}|^{2}$$

определяется как спектр угловой мощности (для полунормированных гармоник Шмидта). Аналогичным образом можно определить перекрестную степень двух функций как $${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _{\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),$$где $$S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ell m}^{\ast }$$

определяется как перекрестный спектр мощности. Если функции f и g имеют нулевое среднее значение (т. е. спектральные коэффициенты f ₀₀ и g ₀₀ равны нулю), то S _ff ( ℓ ) и S _fg ( ℓ ) представляют вклады в дисперсию и ковариацию функции для степени ℓ , соответственно. Обычно спектр (перекрестной) мощности хорошо аппроксимируется степенным законом вида

$$S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.$$

Когда β = 0 , спектр «белый», поскольку каждая степень имеет одинаковую мощность. Когда β < 0 , спектр называется «красным», поскольку на низких градусах с длинными волнами мощность больше, чем на более высоких градусах. Наконец, когда β > 0 , спектр называют «синим». Условие на порядок роста S _ff ( ℓ ) связано с порядком дифференцируемости f в следующем разделе.

Свойства дифференцируемости

можно также понять Свойства дифференцируемости исходной функции f точки зрения асимптотики S с _ff ( ℓ ) . В частности, если S _ff ( ℓ ) убывает быстрее, чем любая рациональная функция от ℓ при ℓ → ∞ , то f дифференцируема бесконечно . Если, кроме того, S _ff ( ℓ ) убывает экспоненциально, то f действительно является вещественно-аналитическим на сфере.

Общий метод заключается в использовании теории пространств Соболева . Утверждения, связывающие рост S ff ₍ ℓ ) с дифференцируемостью, в этом случае аналогичны аналогичным результатам о росте коэффициентов рядов Фурье . В частности, если $$\sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,$$тогда f находится в пространстве Соболева H ^с ( С ² ) . В частности, из теоремы вложения Соболева следует, что f бесконечно дифференцируема при условии, что $$S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}$$для всех с .

Алгебраические свойства

Теорема сложения

Математический результат, представляющий значительный интерес и полезный, называется теоремой сложения сферических гармоник. Даны два вектора r и r′ со сферическими координатами. $(r,\theta ,\varphi )$ и $(r',\theta ',\varphi ')$, соответственно, угол $\gamma$ между ними задается соотношением $$\cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')$$в которой роль тригонометрических функций, стоящих в правой части, играют сферические гармоники, а в левой части — полиномы Лежандра .

Теорема сложения гласит

$$P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}(\mathbf {y} )\,Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\quad \forall \,\ell \in \mathbb {N} _{0}\;\forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}\colon \;\|\mathbf {x} \|_{2}=\|\mathbf {y} \|_{2}=1\,,$$ ( 1 )

где P _ℓ — многочлен Лежандра степени ℓ . Это выражение справедливо как для вещественных, так и для комплексных гармоник. Результат можно доказать аналитически, используя свойства ядра Пуассона в единичном шаре, или геометрически, применив поворот к вектору y так, чтобы он указывал вдоль оси z , а затем непосредственно вычислив правую часть.

В частности, когда x = y , это дает теорему Унсёлда $$\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell m}(\mathbf {x} )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}$$что обобщает тождество cos ² θ + грех ² θ = от 1 до двух измерений.

В разложении ( 1 ) левая часть $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ является постоянной кратной степени ℓ зональной сферической гармоники . С этой точки зрения можно сделать следующее обобщение на более высокие измерения. Пусть Y _j — произвольный ортонормированный базис пространства H _ℓ сферических гармоник степени ℓ на n -сфере. Затем $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$, зональная гармоника степени ℓ, соответствующая единичному вектору x , разлагается как

$$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}{\overline {Y_{j}({\mathbf {x} })}}\,Y_{j}({\mathbf {y} })$$ ( 2 )

Кроме того, зональная гармоника $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ задается как постоянное кратное соответствующему многочлену Гегенбауэра :

$$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=C_{\ell }^{((n-2)/2)}({\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {y} })$$ ( 3 )

Объединение ( 2 ) и ( 3 ) дает ( 1 ) в размерности n = 2, когда x и y представлены в сферических координатах. Наконец, оценка при x = y дает функциональное тождество $${\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}$$где ω _{n −1} — объём ( n −1)-сферы.

Правило сокращения

Другое полезное тождество выражает произведение двух сферических гармоник как сумму сферических гармоник. $$Y_{a,\alpha }\left(\theta ,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta ,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left(2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma }\left(\theta ,\varphi \right).$$Многие члены этой суммы тривиально равны нулю. Значения $c$ и $\gamma$ которые приводят к ненулевым членам этой суммы, определяются правилами выбора для 3j-символов .

Коэффициенты Клебша – Гордана

Основная статья: коэффициенты Клебша – Гордана

Коэффициенты Клебша–Гордана — это коэффициенты, возникающие при разложении произведения двух сферических гармоник по самим сферическим гармоникам. Для выполнения по сути одних и тех же вычислений доступны различные методы, включая символ Вигнера 3-jm , коэффициенты Рака и интегралы Слейтера . Абстрактно, коэффициенты Клебша – Гордана выражают тензорное произведение двух неприводимых представлений группы вращений как сумму неприводимых представлений: нормализованные соответствующим образом коэффициенты тогда представляют собой кратности.

Визуализация сферических гармоник

Схематическое изображение $Y_{\ell m}$ на единичной сфере и ее узловых линиях. $\Re [Y_{\ell m}]$ равен 0 вдоль m больших кругов, проходящих через полюса, и вдоль ℓ − m кругов одинаковой широты. Функция меняет знак каждый раз, когда пересекает одну из этих линий.

Трехмерный цветной график сферических гармоник степени n = 5 . Обратите внимание, что n = ℓ .

Сферические гармоники Лапласа $Y_{\ell }^{m}$ можно визуализировать, рассматривая их « узловые линии », то есть набор точек на сфере, где $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$или, альтернативно, где $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$. Узловые линии $Y_{\ell }^{m}$ состоят из ℓ кругов: есть | м | круги по долготе и ℓ −| м | круги по широтам. Определить количество узловых линий каждого типа можно, посчитав количество нулей $Y_{\ell }^{m}$ в $\theta$ и $\varphi$ направления соответственно. Учитывая $Y_{\ell }^{m}$ как функция $\theta$, действительная и мнимая компоненты соответствующих полиномов Лежандра обладают ℓ −| м | нули, каждый из которых образует узловую «линию широты». С другой стороны, учитывая $Y_{\ell }^{m}$ как функция $\varphi$, тригонометрические функции sin и cos обладают 2| м | нули, каждый из которых порождает узловую «линию долготы».

Когда порядок сферической гармоники m равен нулю (вверху слева на рисунке), функции сферической гармоники не зависят от долготы и называются зональными . Такие сферические гармоники представляют собой частный случай зональных сферических функций . Когда ℓ = | м | (внизу справа на рисунке), пересечений нуля по широте нет, и функции называются секторальными . В остальных случаях функции проверяют сферу и называются тессеральными .

Более общие сферические гармоники степени ℓ не обязательно являются гармониками базиса Лапласа. $Y_{\ell }^{m}$, а их узловые множества могут иметь довольно общий вид.

Список сферических гармоник

Основная статья: Таблица сферических гармоник

Аналитические выражения для первых нескольких ортонормированных сферических гармоник Лапласа $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ которые используют фазовое соглашение Кондона – Шортли: $$Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}$$

$${\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{aligned}}$$

Высшие измерения

Классические сферические гармоники определяются как комплекснозначные функции на единичной сфере. $S^{2}$ внутри трехмерного евклидова пространства $\mathbb {R} ^{3}$. Сферические гармоники можно обобщить на многомерное евклидово пространство. $\mathbb {R} ^{n}$ следующим образом, что приводит к функциям $S^{n-1}\to \mathbb {C}$. комплекснозначных однородных _{многочленов} степени Обозначим через P ℓ пространство ℓ от n действительных переменных , рассматриваемых здесь как функции $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$. То есть многочлен p находится в P _ℓ при условии, что для любого действительного $\lambda \in \mathbb {R}$, у одного есть

$$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x} ).$$

Пусть A _ℓ обозначает подпространство P _ℓ, состоящее из всех гармонических многочленов : $$\mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.$$Это (регулярные) сплошные сферические гармоники . Обозначим через H _ℓ пространство функций на единичной сфере $$S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}$$полученное ограничением из A _ℓ $$\mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ for some }}p\in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ for all }}\mathbf {x} \in S^{n-1}\right\}.$$

Имеются следующие свойства:

• Сумма пространств H _ℓ плотна множестве во $C(S^{n-1})$ непрерывных функций на $S^{n-1}$ относительно однородной топологии по теореме Стоуна–Вейерштрасса . В результате сумма этих пространств также плотна в пространстве L ² ( С ^{п -1} ) интегрируемых с квадратом функций на сфере. Таким образом, каждая интегрируемая с квадратом функция на сфере однозначно разлагается в ряд сферических гармоник, причем этот ряд сходится в L ² смысл.
• Для всех f ∈ H _ℓ имеем $$\Delta _{S^{n-1}}f=-\ell (\ell +n-2)f.$$ где Δ _{S ^{п -1}} — оператор Лапласа–Бельтрами на S ^{п -1} . Этот оператор является аналогом угловой части лапласиана в трех измерениях; а именно, лапласиан в n измерениях разлагается как $$\nabla ^{2}=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{n-1}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {n-1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}$$
• и предыдущего свойства следует Из теоремы Стокса , что пространства H _ℓ ортогональны относительно скалярного произведения из L ² ( С ^{п -1} ) . То есть, $$\int _{S^{n-1}}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \Omega =0$$ для f ∈ H _ℓ и g ∈ H _k для k ≠ ℓ .
• И наоборот, пространства H _ℓ являются в точности собственными пространствами Δ _{S ^{п -1}} . В частности, применение спектральной теоремы к потенциалу Рисса $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ дает еще одно доказательство того, что пространства H _ℓ попарно ортогональны и полны в L ² ( С ^{п -1} ) .
• Любой однородный многочлен p ∈ P _ℓ однозначно можно записать в виде $$p(x)=p_{\ell }(x)+|x|^{2}p_{\ell -2}+\cdots +{\begin{cases}|x|^{\ell }p_{0}&\ell {\rm {\ even}}\\|x|^{\ell -1}p_{1}(x)&\ell {\rm {\ odd}}\end{cases}}$$ где п _j ∈ A _j . В частности, $$\dim \mathbf {H} _{\ell }={\binom {n+\ell -1}{n-1}}-{\binom {n+\ell -3}{n-1}}={\binom {n+\ell -2}{n-2}}+{\binom {n+\ell -3}{n-2}}.$$

Ортогональный базис сферических гармоник в высших размерностях можно построить индуктивно методом разделения переменных , решив задачу Штурма-Лиувилля для сферического лапласиана $$\Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}$$где φ — осевая координата в сферической системе координат на S ^{п -1} . Конечным результатом такой процедуры является $$Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar {P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})$$где индексы удовлетворяют | ℓ ₁ | ≤ ℓ ₂ ≤ ⋯ ≤ ℓ _{n −1} , а собственное значение равно − ℓ _{n −1} ( ℓ _{n −1} + n −2) . Функции в продукте определяются с помощью функции Лежандра. $${}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.$$

Связь с теорией представлений

Пространство H _ℓ сферических гармоник степени ℓ является представлением симметрии группы вращений вокруг точки ( SO(3) ) и ее двойного покрытия SU(2) . Действительно, вращения действуют на двумерную сферу , а значит, и на H _ℓ посредством функциональной композиции $$\psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}$$для ψ — сферическая гармоника, а ρ — вращение. Представление H _ℓ является неприводимым представлением SO(3).

Элементы H _ℓ возникают как ограничения на сферу элементов A _ℓ : гармонические многочлены, однородные степени ℓ в трехмерном евклидовом пространстве R. ³ . По поляризации ψ существуют ∈ A _ℓ коэффициенты $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ симметричный по индексам, однозначно определяемый требованием $$\psi (x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.$$Условие гармоничности ψ эквивалентно утверждению, что тензор $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ должно быть свободным от трассировки для каждой пары индексов. Таким образом, как неприводимое представление SO(3) H ℓ _{изоморфно} пространству бесследовых симметричных тензоров степени ℓ .

В более общем смысле, аналогичные утверждения справедливы и в более высоких измерениях: пространство H _ℓ сферических гармоник на n -сфере является неприводимым представлением SO ( n +1), соответствующим бесследовым симметричным ℓ -тензорам. Однако, хотя каждое неприводимое тензорное представление SO(2) и SO(3) относится к такому типу, специальные ортогональные группы в более высоких измерениях имеют дополнительные неприводимые представления, которые возникают не таким образом.

Специальные ортогональные группы имеют дополнительные представления спина , которые не являются тензорными представлениями и обычно не являются сферическими гармониками. Исключением являются спиновые представления SO(3): строго говоря, это представления двойного накрытия SU(2) SO(3). В свою очередь, SU(2) отождествляется с группой единичных кватернионов и поэтому совпадает с 3-сферой . Пространства сферических гармоник на 3-сфере являются определенными спиновыми представлениями SO(3) относительно действия кватернионного умножения.

Связь с полусферическими гармониками

Сферические гармоники можно разделить на два набора функций. Одна из них — полусферические функции (HSH), ортогональные и полные на полушарии. Другой вариант — дополнительные полусферические гармоники (CHSH).

Обобщения

Симметрии сохраняющие угол, двухсферы , описываются группой преобразований Мёбиуса PSL(2, C ). По отношению к этой группе сфера эквивалентна обычной сфере Римана . Группа PSL(2, C ) изоморфна (собственной) группе Лоренца , и ее действие на двухсфере совпадает с действием группы Лоренца на небесной сфере в пространстве Минковского . Аналог сферических гармоник для группы Лоренца дается гипергеометрическим рядом ; более того, сферические гармоники могут быть перевыражены через гипергеометрический ряд, поскольку SO(3) = PSU(2) является подгруппой PSL (2, C ) .

В более общем плане гипергеометрические ряды можно обобщить для описания симметрии любого симметрического пространства ; в частности, гипергеометрические ряды можно построить для любой группы Ли .

См. также

• Кубическая гармоника (часто используется в расчетах вместо сферических гармоник)
• Цилиндрические гармоники
• Сферическая основа
• Спинорные сферические гармоники
• Спин-взвешенные сферические гармоники
• Теория Штурма – Лиувилля
• Таблица сферических гармоник
• Векторные сферические гармоники
• Полиномы Цернике
• Полиномы Якоби
• Атомная орбиталь

Ссылки

Цитированные ссылки

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том I , Wiley-Interscience .
• Эдмондс, А.Р. (1957), Угловой момент в квантовой механике , Princeton University Press, ISBN  0-691-07912-9
• Ерёменко Александр; Якобсон Дмитрий; Надирашвили, Николай (2007), «Об узловых множествах и узловых областях на S² и R²» , Annales de l'Institut Fourier , 57 (7): 2345–2360, doi : 10.5802/aif.2335 , ISSN   0373-0956 , MR   2394544
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• МакРоберт, Т.М. (1967), Сферические гармоники: элементарный трактат о гармонических функциях с приложениями , Pergamon Press .
• Мейер, Пауль Герман Эрнст; Бауэр, Эдмонд (2004), Теория групп: приложение к квантовой механике , Дувр, ISBN  978-0-486-43798-9 .
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Сферические гармоники» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9 .
• Унсёльд, Альбрехт (1927), «Вклад в квантовую механику атомов», Annals of Physics , 387 (3): 355–393, Бибкод : 1927AnP…387..355U , doi : 10.1002/andp.19273870304 .
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1927), Курс современного анализа , Издательство Кембриджского университета , стр. 392 .

Общие ссылки

• Э. В. Хобсон, Теория сферических и эллипсоидальных гармоник , (1955) Паб Челси. Ко., ISBN   978-0-8284-0104-3 .
• К. Мюллер, Сферические гармоники , (1966) Springer, Конспекты лекций по математике, Vol. 17, ISBN   978-3-540-03600-5 .
• ЕС Кондон и Г.Х. Шортли, Теория атомных спектров , (1970) Кембридж в University Press, ISBN   0-521-09209-4 , см. главу 3 .
• Дж.Д. Джексон, Классическая электродинамика , ISBN   0-471-30932-X
• Альберт Мессия, Квантовая механика , том II. (2000) Дувр. ISBN   0-486-40924-4 .
• Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 6.7. Сферические гармоники» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-88068-8
• D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum ,(1988) World Scientific Publishing Co., Singapore, ISBN   9971-5-0107-4
• Вайсштейн, Эрик В. «Сферические гармоники» . Математический мир .
• Мэддок, Джон, Сферические гармоники в Boost.Math

Внешние ссылки

• Сферические гармоники в MathWorld
• Трехмерное представление сферических гармоник