Сферичность

Сферичность — это мера того, насколько форма объекта напоминает идеальную сферу . Например, сферичность шариков внутри шарикоподшипника определяет качество подшипника , например, нагрузку, которую он может выдерживать, или скорость, с которой он может вращаться без сбоев. Сферичность — конкретный пример меры компактности формы . Определенный Уоделлом в 1935 году, ^[1] сферичность, $\Psi$ , объекта - это отношение площади поверхности сферы того же объема к площади поверхности объекта:

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}

где $V_{p}$ объем объекта и $A_{p}$ это площадь поверхности. Сферичность сферы равна единице по определению, и по изопериметрическому неравенству любая форма, не являющаяся сферой, будет иметь сферичность меньше 1.

Сферичность применяется в трех измерениях ; его аналог в двух измерениях , например поперечного сечения круги цилиндрического объекта, например вала , называется округлостью .

Эллипсоидальные объекты

Сферичность, $\Psi$ сплюснутого сфероида (по форме напоминающего планету Земля ) составляет:

\Psi ={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}(6V_{p})^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}={\frac {2{\sqrt[{3}]{ab^{2}}}}{a+{\frac {b^{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}\ln {\left({\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b}}\right)}}},

где a и b — большая и малая полуоси соответственно.

Вывод

Хакон Уоделл определил сферичность как площадь поверхности сферы того же объема, что и частица, деленную на фактическую площадь поверхности частицы.

Сначала нам нужно написать площадь поверхности сферы, $A_{s}$ по объему измеряемого объекта, $V_{p}$

A_{s}^{3}=\left(4\pi r^{2}\right)^{3}=4^{3}\pi ^{3}r^{6}=4\pi \left(4^{2}\pi ^{2}r^{6}\right)=4\pi \cdot 3^{2}\left({\frac {4^{2}\pi ^{2}}{3^{2}}}r^{6}\right)=36\pi \left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)^{2}=36\,\pi V_{p}^{2}

поэтому

A_{s}=\left(36\,\pi V_{p}^{2}\right)^{\frac {1}{3}}=36^{\frac {1}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=6^{\frac {2}{3}}\pi ^{\frac {1}{3}}V_{p}^{\frac {2}{3}}=\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}

следовательно, мы определяем $\Psi$ как:

\Psi ={\frac {A_{s}}{A_{p}}}={\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(6V_{p}\right)^{\frac {2}{3}}}{A_{p}}}

Сферичность обычных объектов

Имя	Объем	Площадь поверхности	Сферичность
Сфера	${\frac {4}{3}}\pi r^{3}$	$4\pi \,r^{2}$	1
Триаконтаэдр Дисдякиса	${\frac {180}{11}}\left(5+4{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	${\frac {180}{11}}{\sqrt {179-24{\sqrt {5}}}}\,s^{2}$	${\frac {\left(\left(5+4{\sqrt {5}}\right)^{2}{\frac {11\pi }{5}}\right)^{\frac {1}{3}}}{\sqrt {179-24{\sqrt {5}}}}}\approx 0.9857$
Ромбический триаконтаэдр	$4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,s^{3}$	$12{\sqrt {5}}\,s^{2}$	${\frac {\pi ^{\frac {1}{3}}\left(24{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\right)^{\frac {2}{3}}}{12{\sqrt {5}}}}\approx 0.9609$
Икосаэдр	${\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$5{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(3+{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{60{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.939$
Додекаэдр	${\frac {1}{4}}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)\,s^{3}$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\left(15+7{\sqrt {5}}\right)^{2}\pi }{12\left(25+10{\sqrt {5}}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.910$
Идеальный тор $(R=r)$	$2\pi ^{2}Rr^{2}=2\pi ^{2}\,r^{3}$	$4\pi ^{2}Rr=4\pi ^{2}\,r^{2}$	$\left({\frac {9}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.894$
Идеальный цилиндр $(h=2\,r)$	$\pi \,r^{2}h=2\pi \,r^{3}$	$2\pi \,r(r+h)=6\pi \,r^{2}$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.874$
Октаэдр	${\frac {1}{3}}{\sqrt {2}}\,s^{3}$	$2{\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.846$
полушарие (полусфера)	${\frac {2}{3}}\pi \,r^{3}$	$3\pi \,r^{2}$	$\left({\frac {16}{27}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.840$
Куб (шестигранник)	$\,s^{3}$	$6\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.806$
Идеальный конус $(h=2{\sqrt {2}}r)$	${\frac {1}{3}}\pi \,r^{2}h={\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\pi \,r^{3}$	$\pi \,r(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}})=4\pi \,r^{2}$	$\left({\frac {1}{2}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.794$
Тетраэдр	${\frac {\sqrt {2}}{12}}\,s^{3}$	${\sqrt {3}}\,s^{2}$	$\left({\frac {\pi }{6{\sqrt {3}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.671$

См. также

Ссылки

^ Уоделл, Хакон (1935). «Объем, форма и округлость частиц кварца». Журнал геологии . 43 (3): 250–280. Бибкод : 1935JG.....43..250W . дои : 10.1086/624298 .

Внешние ссылки

Морфология зерна: округлость, особенности поверхности и сферичность зерен.

[1] Уоделл, Хакон (1935). «Объем, форма и округлость частиц кварца». Журнал геологии . 43 (3): 250–280. Бибкод : 1935JG.....43..250W . дои : 10.1086/624298 .

[1]