Центральная серия

В математике , особенно в области теории групп и теории Ли , центральный ряд — это своего рода нормальный ряд или подгрупп подалгебр Ли , выражающий идею о том, что коммутатор почти тривиален. Для групп существование центрального ряда означает, что это нильпотентная группа ; для колец матриц (рассматриваемых как алгебры Ли) это означает, что в некотором базисе кольцо целиком состоит из верхнетреугольных матриц с постоянной диагональю.

В этой статье используется язык теории групп; аналогичные термины используются для алгебр Ли.

Общая группа обладает нижним центральным рядом и верхним центральным рядом (также называемыми нисходящим центральным рядом и восходящим центральным рядом соответственно), но они являются центральными рядами в строгом смысле (оканчивающимися на тривиальной подгруппе) тогда и только тогда, когда группа нильпотентный . Родственная, но отличная конструкция — это производный ряд , который заканчивается в тривиальной подгруппе, если группа разрешима .

Определение

Центральный ряд – это последовательность подгрупп

$\{1\}=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \dots \triangleleft A_{n}=G$

такие, что последовательные частные являются центральными ; то есть, $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}$, где $[G,H]$ обозначает подгруппу коммутатора, порожденную всеми элементами вида $[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh$ с g в G и h в H. , С $[G,A_{i+1}]\leq A_{i}\leq A_{i+1}$, подгруппа $A_{i+1}$ нормально в G для каждого i . Таким образом, мы можем перефразировать приведенное выше «центральное» условие так: $A_{i}$ нормально в G и $A_{i+1}/A_{i}$ занимает центральное место в $G/A_{i}$ для каждого я . Как следствие, $A_{i+1}/A_{i}$ абелева для каждого i .

аналогичен Центральный ряд в теории Ли флагу , который строго сохраняется присоединенным действием (более прозаично, базису, в котором каждый элемент представлен строго верхней треугольной матрицей); сравните теорему Энгеля .

Группа не обязательно должна иметь центральный ряд. Фактически группа имеет центральную серию тогда и только тогда, когда она нильпотентна . Если в группе есть центральный ряд, то существуют два центральных ряда, члены которых в определенном смысле экстремальны. Поскольку A ₀ = {1}, центр Z ( G ) удовлетворяет условию A ₁ ⩽ Z ( G ). максимальный выбор для A1 _— это A1 _{Следовательно ,} = Z ( G ). Продолжая таким же образом выбирать максимально возможное A _{i + 1} при заданном A _i, получается так называемый верхний центральный ряд . Двойственным образом, поскольку A _n = G , подгруппа коммутатора [ G , G ] удовлетворяет условию [ G , G ] = [ G , A _n ] ≤ A _{n - 1} . Следовательно, минимальный выбор для An _{— − 1} это [ G , G ]. Продолжая выбирать A _i минимально при заданном A _{i + 1} так, что [ G , A _{i + 1} ] ⩽ A _i, получается то, что называется нижним центральным рядом . Эти ряды можно построить для любой группы, и если группа имеет центральный ряд (является нильпотентной группой), эти процедуры дадут центральный ряд.

Нижний центральный ряд

Нижний центральный ряд (или нисходящий центральный ряд ) группы G — это нисходящий ряд подгрупп.

г = г ₁ ⊵ г ₂ ⊵ ⋯ ⊵ г _п ⊵ ⋯,

где для n каждого

$G_{n+1}=[G_{n},G]$,

подгруппа группы порожденная G, всеми коммутаторами $[x,y]$ с $x\in G_{n}$ и $y\in G$. Таким образом, $G_{2}=[G,G]=G^{(1)}$, производная подгруппа G , а $G_{3}=[[G,G],G]$и т. д. Нижний центральный ряд часто обозначают $\gamma _{n}(G)=G_{n}$. Мы говорим, что ряд завершается или стабилизируется, когда $G_{n}=G_{n+1}=G_{n+2}=\cdots$, а наименьшее такое n — длина ряда.

Его не следует путать с производным рядом , членами которого являются

$G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]$,

нет $G_{n}=[G_{n-1},G]$. Эти две серии связаны $G^{(n)}\leq G_{n}$. Например, симметрическая группа S ₃ разрешима e класса 2: полученный ряд имеет вид S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} ⊵ { } . Но он не нильпотентен: его нижний центральный ряд S ₃ ⊵ { e , (1 2 3), (1 3 2)} не оканчивается на { e }. Нильпотентная группа является разрешимой группой , и ее производная длина является логарифмической в ​​ее классе нильпотентности ( Schenkman 1975 , стр. 201,216).

Для бесконечных групп можно продолжить нижний центральный ряд до бесконечных порядковых чисел с помощью трансфинитной рекурсии : для предельного ординала λ определите

$G_{\lambda }=\bigcap \{G_{\alpha }:\alpha <\lambda \}$.

Если $G_{\lambda }=1$ для некоторого порядкового номера G называется λ гипоцентральной группой . Для каждого ординала λ существует группа G такая, что $G_{\lambda }=1$, но $G_{\alpha }\neq 1$ для всех $\alpha <\lambda$, ( Мальцев 1949 ).

Если $\omega$ – первый бесконечный порядковый номер, то $G_{\omega }$ — наименьшая нормальная подгруппа группы G такая, что фактор аппроксимируемо нильпотентен , то есть такой, что каждый неединичный элемент имеет нетождественный гомоморфный образ в нильпотентной группе ( Schenkman 1975 , стр. 175,183). В области комбинаторной теории групп важным и ранним результатом является то, что свободные группы нильпотентны по аппроксимации. Фактически факторы нижнего центрального ряда представляют собой свободные абелевы группы с естественным базисом, определяемым базисными коммутаторами ( Холл, 1959 , гл. 11).

Если $G_{\omega }=G_{n}$ для некоторого конечного n тогда $G_{\omega }$ - наименьшая нормальная подгруппа группы G с нильпотентным фактором и $G_{\omega }$ называется остатком G . нильпотентным Это всегда имеет место для конечной группы и определяет $F_{1}(G)$ член нижнего ряда Фиттинга для G .

Если $G_{\omega }\neq G_{n}$ для всех конечных n , то $G/G_{\omega }$ не нильпотентна, но остаточно нильпотентна .

Не существует общего термина для пересечения всех членов трансфинитного нижнего центрального ряда, аналогичного гиперцентру (ниже).

Верхний центральный ряд

Верхним центральным рядом (или восходящим центральным рядом ) группы G называется последовательность подгрупп

$1=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft Z_{i}\triangleleft \cdots ,$

где каждая последующая группа определяется:

$Z_{i+1}=\{x\in G\mid \forall y\in G:[x,y]\in Z_{i}\}$

называется i -м центром G и (соответственно вторым центром , третьим центром и т. д.). В этом случае, $Z_{1}$ является центром G фактор - , и для каждой последующей группы группа $Z_{i+1}/Z_{i}$ является центром $G/Z_{i}$и называется фактором верхнего центрального ряда . Опять же, мы говорим, что ряд завершается, если он стабилизируется в цепочку равенств, а его длина равна числу различных групп в нем.

Для бесконечных групп можно продолжить верхний центральный ряд до бесконечных порядковых чисел с помощью трансфинитной рекурсии : для предельного ординала λ определите

$Z_{\lambda }(G)=\bigcup _{\alpha <\lambda }Z_{\alpha }(G).$

Предел этого процесса (объединения высших центров) называется гиперцентром группы.

Если трансфинитный верхний центральный ряд стабилизируется на всей группе, то группа называется гиперцентральной . Гиперцентральные группы обладают многими свойствами нильпотентных групп, такими как условие нормализатора (нормализатор правильной подгруппы собственно содержит подгруппу), элементы взаимно простого порядка коммутируют, а периодические гиперцентральные группы являются прямой суммой своих силовских p -подгрупп ( Шенкман 1975) . , гл. VI.3). Для каждого ординала λ существует группа G такая, что Z _λ ( G ) = G , но Zα ₍ ) G ≠ G для α < λ , ( Глушков, 1952 ) и ( Маклейн, 1956 ).

Соединение между нижним и верхним центральным рядом

Существуют различные связи между нижним центральным рядом (LCS) и верхним центральным рядом (UCS) ( Ellis 2001 ), особенно для нильпотентных групп .

Для нильпотентной группы длины LCS и UCS совпадают, и эта длина называется классом нильпотентности группы. Однако LCS и UCS нильпотентной группы не обязательно могут иметь одинаковые члены. Например, в то время как UCS и LCS совпадают для циклической группы C ₂ ⊵ { e } и группы кватернионов Q ₈ ⊵ {1, −1} ⊵ {1}, UCS и LCS их прямого произведения C ₂ × Q ₈ делают не согласен: его ЛВС — это C ₂ × Q ₈ ⊵ { e } × {−1, 1} ⊵ { e } × {1}, а его UCS — это C ₂ × Q ₈ ⊵ C ₂ × {−1, 1} ⊵ { е } × {1}.

Группа абелева тогда и только тогда, когда ЛВП заканчивается на первом шаге (коммутантная подгруппа — тривиальная подгруппа), тогда и только тогда, когда ПСК заканчивается на первом шаге (центр — вся группа).

Напротив, LCS завершается на нулевом шаге тогда и только тогда, когда группа совершенна (коммутатор — это вся группа), а UCS завершается на нулевом шаге тогда и только тогда, когда группа бесцентрирована (тривиальный центр), что отдельные понятия. Для совершенной группы ПСК всегда стабилизируется по первому шагу ( лемма Грюна ). Однако бесцентровая группа может иметь очень длинную ЛВП: свободная группа с двумя или более образующими бесцентрна, но ее ЛВП не стабилизируется до первого бесконечного ординала. Это показывает, что длины LCS и UCS в целом не обязательно должны совпадать.

Изысканная центральная серия

При изучении р -групп (которые всегда нильпотентны) часто бывает важно использовать более длинные центральные ряды. Важным классом таких центральных рядов являются с показателем степени p центральные ряды ; то есть центральный ряд, факторами которого являются элементарные абелевы группы или, что то же самое, имеет показатель p . Существует единственный такой ряд, который наиболее быстро убывает, - центральный ряд с нижним показателем степени p λ, определяемый формулой:

$\lambda _{1}(G)=G$, и

$\lambda _{n+1}(G)=[G,\lambda _{n}(G)](\lambda _{n}(G))^{p}$.

Второй срок, $\lambda _{2}(G)$, равно $[G,G]G^{p}=\Phi (G)$, подгруппа Фраттини . Центральный ряд с нижним показателем степени p иногда называют просто p -центральным рядом.

Существует единственный такой ряд, наиболее быстро возрастающий, - центральный ряд S с верхним показателем степени p, определяемый следующим образом:

S ₀ ( г ) знак равно 1

S _{n +1} ( G )/S _n ( G ) = Ω(Z( G /S _n ( G )))

где Ω( Z ( H )) обозначает подгруппу, порожденную (и равную) набору центральных элементов H порядка, делящего p . Первый член, S ₁ ( G порожденную минимальными нормальными подгруппами, и поэтому равен цоколю G ), представляет собой подгруппу , . По этой причине центральный ряд с верхним показателем степени p иногда называют цокольным рядом или даже рядом Леви, хотя последний обычно используется для обозначения нисходящего ряда.

Иногда полезны другие уточнения центрального ряда, например ряд Дженнингса κ, определяемый формулой:

κ ₁ ( г ) знак равно г , и

κ _{п + 1} ( грамм ) знак равно [ грамм , κ _п ( грамм )] ( κ _я ( грамм )) ^п , где i — наименьшее целое число, большее или равное n / p .

Ряд Дженнингса назван в честь Стивена Артура Дженнингса который использовал этот ряд для описания ряда Лоуи модульного группового кольца p , -группы.

См. также

• Нильпотентный ряд , аналогичное понятие для разрешимых групп.
• Отношения родитель-потомок для конечных p -групп, определяемых различными видами центральных рядов
• Унипотентная группа

Ссылки

• Эллис, Грэм (октябрь 2001 г.), «О связи между верхними центральными частными и нижними центральными рядами группы», Transactions of the American Mathematical Society , 353 (10): 4219–4234, doi : 10.1090/S0002-9947-01 -02812-4 , JSTOR   2693793
• Глушков В.М. (1952), "О центральной серии бесконечных групп", Матем. Сборник , Новая серия, 31 : 491–496, МР   0052427
• Холл, Маршалл (1959), Теория групп , Macmillan, MR   0103215.
• Мальцев А.И. (1949), "Обобщенные нильпотентные алгебры и ассоциированные с ними группы", Матем. Сборник , Новая серия, 25 (67): 347–366, МР   0032644
• Маклейн, Д.Х. (1956), «Замечания о верхнем центральном ряду группы», Proc. Глазго Математика. доц. , 3 : 38–44, doi : 10.1017/S2040618500033414 , MR   0084498
• Шенкман, Юджин (1975), Теория групп , Издательство Роберта Э. Кригера, ISBN  978-0-88275-070-5 , MR   0460422 , особенно глава VI.