Последовательные и параллельные пружины

В механике две или более пружины называются последовательными, когда они соединены встык или точка в точку, и параллельными, когда они соединены бок о бок; в обоих случаях, чтобы действовать как одна пружина:

Ряд		Параллельно

В более общем смысле, две или более пружины расположены последовательно , когда любое внешнее напряжение , приложенное к ансамблю, прикладывается к каждой пружине без изменения величины, а величина деформации (деформации) ансамбля представляет собой сумму деформаций отдельных пружин. И наоборот, они называются параллельными, если деформация ансамбля является их общей деформацией, а напряжение ансамбля является суммой их напряжений.

Любая комбинация пружин Гука (с линейным откликом), включенных последовательно или параллельно, ведет себя как одна пружина Гука. Формулы объединения их физических свойств аналогичны тем, которые применяются для конденсаторов, включенных последовательно или параллельно в электрическую цепь .

Формулы

Эквивалентная пружина

В следующей таблице приведена формула пружины, эквивалентной системе из двух пружин, соединенных последовательно или параллельно, жесткость пружины которых равна $k_{1}$ и $k_{2}$. ( Соблюдение $c$ пружина является обратным $1/k$ его пружинной постоянной.)

Количество	В серии		Параллельно
Эквивалентная жесткость пружины	${\frac {1}{k_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}$		$k_{\mathrm {eq} }=k_{1}+k_{2}$
Эквивалентное соответствие	$c_{\mathrm {eq} }=c_{1}+c_{2}$		${\frac {1}{c_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{c_{1}}}+{\frac {1}{c_{2}}}$
Прогиб (удлинение)	$x_{\mathrm {eq} }=x_{1}+x_{2}$		$x_{\mathrm {eq} }=x_{1}=x_{2}$
Сила	$F_{\mathrm {eq} }=F_{1}=F_{2}$		$F_{\mathrm {eq} }=F_{1}+F_{2}$
Запасенная энергия	$E_{\mathrm {eq} }=E_{1}+E_{2}$		$E_{\mathrm {eq} }=E_{1}+E_{2}$

Формулы разделения

Количество	В серии	Параллельно
Прогиб (удлинение)	${\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}$	$x_{1}=x_{2}\,$
Сила	$F_{1}=F_{2}\,$	${\frac {F_{1}}{F_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}$
Запасенная энергия	${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}$	${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}={\frac {c_{2}}{c_{1}}}$

Вывод формулы пружины (эквивалентная жесткость пружины)

showЭквивалентная константа пружины (серия)

When putting two springs in their equilibrium positions in series attached at the end to a block and then displacing it from that equilibrium, each of the springs will experience corresponding displacements x1 and x2 for a total displacement of x1 + x2. We will be looking for an equation for the force on the block that looks like: $F_{b}=-k_{\mathrm {eq} }(x_{1}+x_{2}).\,$ The force that each spring experiences will have to be same, otherwise the springs would buckle. Moreover, this force will be the same as Fb. This means that $F_{1}=-k_{1}x_{1}=F_{2}=-k_{2}x_{2}=F_{b}.\,$ Working in terms of the absolute values, we can solve for $x_{1}\,$ and $x_{2}\,$: $x_{1}~=~{\frac {F_{1}}{k_{1}}}\,,\qquad x_{2}~=~{\frac {F_{2}}{k_{2}}}$, and similarly, $x_{1}~+~x_{2}~=~{\frac {F_{b}}{k_{\mathrm {eq} }}}$. Substituting $x_{1}\,$ and $x_{2}\,$ into the latter equation, we find ${\frac {F_{1}}{k_{1}}}~+~{\frac {F_{2}}{k_{2}}}~=~{\frac {F_{b}}{k_{\mathrm {eq} }}}$. Now remembering that $F_{1}~=~F_{2}~=~F_{b}$, we arrive at ${\frac {1}{k_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}.\,$

showЭквивалентная константа пружины (параллельно)
Both springs are touching the block in this case, and whatever distance spring 1 is compressed has to be the same amount spring 2 is compressed. The force on the block is then: $F_{b}\,$ $=F_{1}+F_{2}\,$ $=-k_{1}x-k_{2}x\,$ So the force on the block is $F_{b}=-(k_{1}+k_{2})x.\,$ Which is how we can define the equivalent spring constant as $k_{\mathrm {eq} }=k_{1}+k_{2}.\,$

showСжатое расстояние
In the case where two springs are in parallel it is immediate that: $x_{1}=x_{2}\,$ $F_{1}=-k_{1}x_{1}$ and $F_{2}=-k_{2}x_{2}.\,$	In the case where two springs are in series, the force of the springs on each other are equal: $F_{1}=F_{2}\,$ $-k_{1}x_{1}=-k_{2}x_{2}.\,$ From this we get a relationship between the compressed distances for the in series case: ${\frac {x_{1}}{x_{2}}}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}.\,$

showСохраненная энергия

For the series case, the ratio of energy stored in springs is: ${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {{\frac {1}{2}}k_{1}x_{1}^{2}}{{\frac {1}{2}}k_{2}x_{2}^{2}}},\,$ but there is a relationship between x1 and x2 derived earlier, so we can plug that in: ${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}\left({\frac {k_{2}}{k_{1}}}\right)^{2}={\frac {k_{2}}{k_{1}}}.\,$ For the parallel case, ${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {{\frac {1}{2}}k_{1}x^{2}}{{\frac {1}{2}}k_{2}x^{2}}}\,$ because the compressed distance of the springs is the same, this simplifies to ${\frac {E_{1}}{E_{2}}}={\frac {k_{1}}{k_{2}}}.\,$

См. также

• ферма
• Двойственность (машиностроение)