Jump to content

Разложения Кокстера гиперболических многоугольников

Гиперболический треугольник, сумма внутренних углов которого не равна 180 градусам.

Разложение Кокстеру многоугольника по — это разложение на конечное число многоугольников, в котором любые два многоугольника, имеющие общую сторону, являются отражением друг друга вдоль этой стороны. Гиперболические многоугольники являются аналогами евклидовых многоугольников в гиперболической геометрии . Гиперболический n -угольник — это область, ограниченная n отрезками, лучами или целыми прямыми. Стандартной моделью этой геометрии является модель диска Пуанкаре . Основное различие между евклидовым и гиперболическим многоугольниками заключается в том, что сумма внутренних углов гиперболического многоугольника не совпадает с суммой внутренних углов евклидовых многоугольников. В частности, сумма углов гиперболического треугольника меньше 180 градусов.

Группа треугольников, образованная отражением треугольника на его сторонах.

Разложения Кокстера названы в честь Гарольда Скотта Макдональда Кокстера , выдающегося геометра 20-го века. Он представил группу Кокстера — абстрактную группу, порожденную размышлениями. Эти группы имеют множество применений, в том числе создание вращения платоновых тел и мозаику плоскости.

Разложения Кокстера

[ редактировать ]

Учитывая многоугольник P , группа G может быть создана путем отражения P вокруг его сторон. Если углы P равны π / k для натуральных чисел k , то G будет дискретным. Разложение Кокстеру многоугольника по — это разложение на конечное число многоугольников, в котором любые два многоугольника, имеющие общую сторону, являются отражением друг друга вдоль этой стороны.

Цель разложения Кокстера — разбить многоугольник на композицию конгруэнтных треугольников, отраженных на его сторонах.

Гиперболические треугольники

[ редактировать ]

Если треугольник ABC может подвергаться разложению Кокстера и имеет углы , где это количество раз, угол разломан, то треугольник ABC можно записать как . Некоторые свойства этих фундаментальных многоугольников известны для гиперболических треугольников.

Разложение треугольника с тремя основными углами
  • Основной треугольник имеет прямой угол. Доказательство этого включает два случая, зависящих от того, являются ли углы разложенного треугольника фундаментальными. Если это не так, то из этого следует, что, поскольку процесс разложения конечен, в конечном итоге образуется фундаментальный треугольник с прямым углом. Если да, то доказательство от противного, основанное на площади основного треугольника, доказывает, что у него будет прямой угол.
  • Для треугольника , минимум два равны. Это также доказывается от противного, основанного на площади фундаментального многоугольника, найденной с помощью теоремы Гаусса–Бонне . Мы можем сказать, что площадь всего треугольника равна количеству фундаментальных треугольников, умноженному на их площадь. Это дает нам . Если мы предположим, что , то предыдущее равенство нарушается для . Следовательно, по крайней мере два угла равны.
  • Учитывая треугольник, в котором все три угла являются основными, существует единственное разложение. Нетривиальное доказательство этого можно найти в . [1]
  • Все возможные разложения известны.
    Это все разложения Кокстера гиперболических треугольников, за исключением более подробного, приведенного выше.

Другие гиперболические многоугольники

[ редактировать ]

Четырехугольники также могут иметь разложения Кокстера.

  • Если четырехугольник невыпуклый, то возможны два треугольных разложения. Это делается путем разложения его на два треугольника, которые затем разлагаются. Эти два треугольника тупоугольные.
  • Четырехугольник можно разложить на четырехугольники.
  • Также известны все разложения выпуклых четырехугольников. Показать их все в этой статье непрактично, но некоторые из них изображены здесь.
    Разложения невыпуклых четырехугольников.
    Разложения четырехугольников на четырехугольники
Некоторые разложения четырехугольников
  1. ^ Феликсон, А.А. (1998). «Разложения Кокстера гиперболических многоугольников» . Европейский Дж. Комбин. 19 (7): 801–817. дои : 10.1006/eujc.1998.0238 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 01d73dab092d27cf5b3919f587a1a052__1625442600
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/01/52/01d73dab092d27cf5b3919f587a1a052.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Coxeter decompositions of hyperbolic polygons - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)