Разложения Кокстера гиперболических многоугольников

Гиперболический треугольник, сумма внутренних углов которого не равна 180 градусам.

Разложение Кокстеру многоугольника по — это разложение на конечное число многоугольников, в котором любые два многоугольника, имеющие общую сторону, являются отражением друг друга вдоль этой стороны. Гиперболические многоугольники являются аналогами евклидовых многоугольников в гиперболической геометрии . Гиперболический n -угольник — это область, ограниченная n отрезками, лучами или целыми прямыми. Стандартной моделью этой геометрии является модель диска Пуанкаре . Основное различие между евклидовым и гиперболическим многоугольниками заключается в том, что сумма внутренних углов гиперболического многоугольника не совпадает с суммой внутренних углов евклидовых многоугольников. В частности, сумма углов гиперболического треугольника меньше 180 градусов.

Группа треугольников, образованная отражением треугольника на его сторонах.

Разложения Кокстера названы в честь Гарольда Скотта Макдональда Кокстера , выдающегося геометра 20-го века. Он представил группу Кокстера — абстрактную группу, порожденную размышлениями. Эти группы имеют множество применений, в том числе создание вращения платоновых тел и мозаику плоскости.

Разложения Кокстера

Учитывая многоугольник P , группа G может быть создана путем отражения P вокруг его сторон. Если углы P равны $π$ / k для натуральных чисел k , то G будет дискретным. Разложение Кокстеру многоугольника по — это разложение на конечное число многоугольников, в котором любые два многоугольника, имеющие общую сторону, являются отражением друг друга вдоль этой стороны.

Цель разложения Кокстера — разбить многоугольник на композицию конгруэнтных треугольников, отраженных на его сторонах.

Гиперболические треугольники

Если треугольник ABC может подвергаться разложению Кокстера и имеет углы $k_{i}{\frac {\pi }{q_{i}}}$ , где $k_{i}$ это количество раз, $i$ угол разломан, то треугольник ABC можно записать как $\left({\frac {k_{1}}{q_{1}}},{\frac {k_{2}}{q_{2}}},{\frac {k_{3}}{q_{3}}}\right)$ . Некоторые свойства этих фундаментальных многоугольников известны для гиперболических треугольников.

Разложение треугольника с тремя основными углами

Основной треугольник имеет прямой угол. Доказательство этого включает два случая, зависящих от того, являются ли углы разложенного треугольника фундаментальными. Если это не так, то из этого следует, что, поскольку процесс разложения конечен, в конечном итоге образуется фундаментальный треугольник с прямым углом. Если да, то доказательство от противного, основанное на площади основного треугольника, доказывает, что у него будет прямой угол.
Для треугольника $\left({\frac {k_{1}}{q_{1}}},{\frac {k_{2}}{q_{2}}},{\frac {k_{3}}{q_{3}}}\right)$ , минимум два $q_{i}$ равны. Это также доказывается от противного, основанного на площади фундаментального многоугольника, найденной с помощью теоремы Гаусса–Бонне . Мы можем сказать, что площадь всего треугольника равна количеству фундаментальных треугольников, умноженному на их площадь. Это дает нам $1-\sum _{i=1}^{3}{\frac {k_{i}}{q_{i}}}=N\left(1-\sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{q_{i}}}\right)$ . Если мы предположим, что $q_{1}>q_{2}>q_{3}$ , то предыдущее равенство нарушается для $N>1$ . Следовательно, по крайней мере два угла равны.
Учитывая треугольник, в котором все три угла являются основными, существует единственное разложение. Нетривиальное доказательство этого можно найти в . ^[1]
Все возможные разложения известны.
Это все разложения Кокстера гиперболических треугольников, за исключением более подробного, приведенного выше.

Другие гиперболические многоугольники

Четырехугольники также могут иметь разложения Кокстера.

Если четырехугольник невыпуклый, то возможны два треугольных разложения. Это делается путем разложения его на два треугольника, которые затем разлагаются. Эти два треугольника тупоугольные.
Четырехугольник можно разложить на четырехугольники.
Также известны все разложения выпуклых четырехугольников. Показать их все в этой статье непрактично, но некоторые из них изображены здесь.
Разложения невыпуклых четырехугольников.
Разложения четырехугольников на четырехугольники