Переход Фредерикса

— Переход Фредерикса это фазовый переход в жидких кристаллах достаточно сильного электрического или магнитного поля , возникающий при приложении к жидкому кристаллу в неискаженном состоянии. Ниже определенного порога поля директор остается неискаженным. По мере того, как значение поля постепенно увеличивается от этого порога, директор начинает поворачиваться до тех пор, пока не совпадет с полем. Таким образом, переход Фредерикса может происходить в трех различных конфигурациях, известных как геометрии скручивания, изгиба и растяжения. Фазовый переход впервые наблюдали Фредерикс и Репьева в 1927 году. В этом их первом эксперименте одна из стенок ячейки была вогнутой, чтобы обеспечить изменение толщины вдоль ячейки. Фазовый переход назван в честь русского физика Всеволода Фредерикса .

Вывод

Поворотная геометрия

Диаграмма, показывающая геометрию скручивания, где $E_{t}$ – пороговое электрическое поле.

Если нематический жидкий кристалл, заключенный между двумя параллельными пластинами, вызывающими плоское сцепление, поместить в достаточно сильное постоянное электрическое поле, то директор будет искажен. Если в нулевом поле директор ориентирован вдоль оси x, то при приложении электрического поля вдоль оси y директор будет иметь вид:

$\mathbf {\hat {n}} =n_{x}\mathbf {\hat {x}} +n_{y}\mathbf {\hat {y}}$

$n_{x}=\cos {\theta (z)}$

$n_{y}=\sin {\theta (z)}$

При таком расположении плотность энергии без искажений становится:

${\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}$

Полная энергия единицы объема, запасенная в искажении и электрическом поле, определяется выражением:

$U={\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^{2}{\theta }$

Тогда свободная энергия на единицу площади составит:

$F_{A}=\int _{0}^{d}{\frac {1}{2}}K_{2}\left({\frac {d\theta }{dz}}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin ^{2}{\theta }\,dz\,$

Минимизация этого с помощью вариационного исчисления дает:

$\left({\frac {\partial U}{\partial \theta }}\right)-{\frac {d}{dz}}\left({\frac {\partial U}{\partial \left({\frac {d\theta }{dz}}\right)}}\right)=0$

$K_{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}\right)+\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}\sin {\theta }\cos {\theta }=0$

Переписав это с точки зрения $\zeta ={\frac {z}{d}}$ и $\xi _{d}=d^{-1}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}E^{2}}}}$ где $d$ расстояние между двумя пластинами приводит к упрощению уравнения до:

$\xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{d\zeta ^{2}}}\right)+\sin {\theta }\cos {\theta }=0$

Умножив обе части дифференциального уравнения на ${\frac {d\theta }{d\zeta }}$ это уравнение можно еще упростить следующим образом:

${\frac {d\theta }{d\zeta }}\xi _{d}^{2}\left({\frac {d^{2}\theta }{d\zeta ^{2}}}\right)+{\frac {d\theta }{d\zeta }}\sin {\theta }\cos {\theta }={\frac {1}{2}}\xi _{d}^{2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta }{d\zeta }}\right)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta }\right)=0$

$\int {\frac {1}{2}}\xi _{d}^{2}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\left({\frac {d\theta }{d\zeta }}\right)^{2}\right)+{\frac {1}{2}}{\frac {d}{d\zeta }}\left(\sin ^{2}{\theta }\right)\,d\zeta \,=0$

${\frac {d\theta }{d\zeta }}={\frac {1}{\xi _{d}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\theta _{m}}-\sin ^{2}{\theta }}}$

Значение $\theta _{m}$ это ценность $\theta$ когда $\zeta =1/2$. Замена $k=\sin {\theta _{m}}$ и $t={\frac {\sin {\theta }}{\sin {\theta _{m}}}}$ в приведенное выше уравнение и интегрируем по $t$ от 0 до 1 дает:

$\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}\,dt\,\equiv K(k)={\frac {1}{2\xi _{d}}}$

Величина K(k) представляет собой полный эллиптический интеграл первого рода . Отметив, что $K(0)={\frac {\pi }{2}}$ наконец получаем пороговое электрическое поле $E_{t}$.

$E_{t}={\frac {\pi }{d}}{\sqrt {\frac {K_{2}}{\epsilon _{0}\Delta \chi _{e}}}}$

В результате, измеряя пороговое электрическое поле, можно эффективно измерить твист- константу Франка , если известна анизотропия электрической восприимчивости и разделение пластин.

Ссылки

• Коллингс, Питер Дж.; Херд, Майкл (1997). Введение в жидкие кристаллы: химия и физика . Тейлора и Фрэнсиса Лтд. ISBN  0-7484-0643-3 .
• де Женн, Пьер-Жиль ; Прост, Дж. (10 августа 1995 г.). Физика жидких кристаллов (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-851785-8 .
• Фредерикс, В.; Репьева, А. (1927). «Теоретические и экспериментальные аспекты вопроса о природе анизотропных жидкостей». Журнал физики . 42 (7): 532–546. Бибкод : 1927ZPhy...42..532F . дои : 10.1007/BF01397711 . S2CID   119861131 .
• Фредерикс, В.; Золина, В. (1933). «Силы, вызывающие ориентацию анизотропной жидкости». Пер. Фарадей Соц . 29 (140): 919–930. дои : 10.1039/TF9332900919 .
• Пристли, Э.Б.; Войтович, Питер Дж.; Шэн, Пин (1975). Введение в жидкие кристаллы . Пленум Пресс. ISBN  0-306-30858-4 .
• Цохер, Х. (1933). «Влияние магнитного поля на нематическое состояние». Труды Фарадеевского общества . 29 (140): 945–957. дои : 10.1039/TF9332900945 .