Основная теорема Глассера

В интегральном исчислении основная теорема Глассера объясняет, как определенный широкий класс подстановок может упростить определенные интегралы на всем интервале от $-\infty$ к $+\infty .$ Он применим в тех случаях, когда интегралы следует понимать как главные значения Коши , и тем более он применим, когда интеграл сходится абсолютно . Он назван в честь М.Л. Глассера, который представил его в 1983 году.

Особый случай: преобразование Коши – Шлёмильха.

Особый случай, называемый заменой Коши – Шлёмильха или преобразованием Коши – Шлёмильха. был известен Коши в начале 19 века. В нем говорится, что если

$u=x-{\frac {1}{x}}\,$

затем

$\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,dx\qquad ({\text{Note: }}F(u)\,dx,{\text{ not }}F(u)\,du)$

где PV обозначает главное значение Коши.

Основная теорема

Если $a$, $a_{i}$, и $b_{i}$ являются действительными числами и

$u=x-a-\sum _{n=1}^{N}{\frac {|a_{n}|}{x-b_{n}}}$

затем

$\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(u)\,dx=\operatorname {PV} \int _{-\infty }^{\infty }F(x)\,dx.$

Примеры

 

• $\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}\,dx}{x^{4}+1}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{\left(x-{\frac {1}{x}}\right)^{2}+2}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+2}}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}.$

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Главная теорема Глассера» . Математический мир .