Бикли Джет

В гидродинамике , струя Бикли представляет собой устойчивую двумерную ламинарную плоскую струю с большим числом Рейнольдса выходящую в покоящуюся жидкость, названную в честь У. Г. Бикли, который дал аналитическое решение в 1937 году. к проблеме, полученной Шлихтингом в 1933 году и соответствующая задача в осесимметричных координатах называется струей Шлихтинга . Решение справедливо только для расстояний, далеких от начала струи.

Описание потока

Рассмотрим устойчивую плоскость, выходящую в ту же жидкость, своего рода затопленные струи из узкой щели, которая должна быть очень маленькой (такой, что жидкость теряет память о форме и размере щели вдали от начала координат, она помнит только чистый поток импульса). Пусть скорость будет $(u,v)$ в декартовой координате, а ось струи будет $x$ ось с началом в отверстии. Течение самоподобное при больших числах Рейнольдса (струя настолько тонка, что $u(x,y)$ изменяется гораздо быстрее в поперечном направлении. $y$ направление, чем по течению $x$ направлении) и может быть аппроксимирован уравнениями пограничного слоя .

${\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}&=0,\\u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}&=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}},\end{aligned}}$

где $\nu$ – кинематическая вязкость , а давление везде равно внешнему давлению жидкости. Поскольку жидкость покоится далеко от центра струи

$u\rightarrow 0$ как $y\rightarrow \pm \infty$,

и поскольку поток симметричен относительно $x$ ось

$v=0$ в $y=0$,

а также поскольку твердой границы нет и давление постоянно, поток импульса $M$ через любую плоскость, нормальную к $x$ ось должна быть одинаковой

$M=2\rho \int _{0}^{\infty }u^{2}\,dy$

является константой, где $\rho$ которое также постоянно для несжимаемого потока.

Доказательство постоянного потока осевого момента

Условие постоянного потока импульса можно получить путем интегрирования уравнения количества движения поперек струи.

$${\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }u{\frac {\partial u}{\partial x}}\,dy+\int _{-\infty }^{\infty }v{\frac {\partial u}{\partial y}}\,dy=\left[\nu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right]_{-\infty }^{\infty },\\[10pt]&{\frac {d}{dx}}\int _{-\infty }^{\infty }u^{2}\,dy=0,\quad \Rightarrow \quad \int _{0}^{\infty }u^{2}\,dy={\text{constant}}.\end{aligned}}$$

где $$v{\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {\partial (uv)}{\partial y}}-u{\frac {\partial v}{\partial y}}={\frac {\partial (uv)}{\partial y}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}$$ используется для упрощения приведенного выше уравнения. Массовый поток $Q$ через любое поперечное сечение, нормальное к $x$ ось не является постоянной, поскольку происходит медленный унос внешней жидкости в струю, а она является частью раствора пограничного слоя. В этом легко убедиться, проинтегрировав уравнение неразрывности по пограничному слою.

$${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial u}{\partial x}}\,dy+\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial v}{\partial y}}\,dy&=0,\\[8pt]{\frac {d}{dx}}\int _{-\infty }^{\infty }u\,dy=-{\Big [}v{\Big ]}_{-\infty }^{\infty }&=-2v(x,\infty ).\end{aligned}}$$

где условие симметрии $v(x,-\infty )=-v(x,\infty )$ используется.

Самоподобное решение

Автомодельное решение получается введением преобразования $$\eta ={\frac {y}{x^{2/3}}},\quad u={\frac {6\nu }{x^{1/3}}}F'(\eta ),\quad v={\frac {2\nu }{x^{2/3}}}(2\eta F'(\eta )-F(\eta ))$$ уравнение сводится к $$F'''+2FF''+2F'^{2}=0,$$ а граничные условия становятся $$F'(\pm \infty )=0,\quad F(0)=0,\quad M=72\nu ^{2}\rho \int _{0}^{\infty }F'^{2}\,d\eta .$$

Точное решение дается выражением $$F(\eta )=\alpha \tanh \alpha \eta$$ где $\alpha$ решается из следующего уравнения $$M=72\nu ^{2}\rho \int _{0}^{\infty }\operatorname {sech} ^{4}\eta \,d\eta =48\nu ^{2}\rho \alpha ^{3},\quad \Rightarrow \quad \alpha =\left({\frac {M}{48\nu ^{2}\rho }}\right)^{1/3}.$$

Сдача в аренду $$\xi =\alpha \eta =0.2752\left({\frac {M}{\nu ^{2}\rho }}\right)^{1/3}{\frac {y}{x^{2/3}}},$$

скорость определяется выражением $${\begin{aligned}u&=0.4543\left({\frac {M^{2}}{\nu \rho ^{2}x}}\right)^{1/3}\operatorname {sech} ^{2}\xi ,\\v&=0.5503\left({\frac {M\nu }{\rho x^{2}}}\right)^{1/3}(2\xi \operatorname {sech} ^{2}\xi -\tanh \xi ).\end{aligned}}$$

Массовый расход $Q$ через плоскость на расстоянии $x$ от отверстия по нормали к струе $$Q=2\rho \int _{0}^{\infty }u\,dy=3.3019\left(M\nu \rho ^{2}x\right)^{1/3}.$$

См. также

• Реактивный самолет Ландау – Сквайра