Консольная магнитометрия

Консольная магнитометрия - это использование кантилевера для измерения магнитного момента магнитных частиц. На конце кантилевера прикреплен небольшой кусочек магнитного материала, который взаимодействует с внешними магнитными полями и наносит крутящий момент на кантилевере. Эти моменты заставляют кантилевер быстрее или медленнее, в зависимости от ориентации момента частицы относительно внешнего поля и величины момента. Величина момента и магнитная анизотропия материала могут быть выведены путем измерения частоты колебаний кантилевера по сравнению с внешним полем.

Консольная часть с магнитной частицей, колеблющимися во внешнем магнитном поле. Многие установки не имеют катушки модуляции, как показано выше. Емкостная связь может быть использована вместо пьезоэлектрического преобразователя (PZT) для управления консольным

Полезная, хотя ограниченная аналогия - это маятник: на земле он колеблется с одной частотой, в то время как тот же маятник, скажем, на луне, будет колебаться с более медленной частотой. Это связано с тем, что масса на конце маятника взаимодействует с внешним гравитационным полем, так как магнитный момент взаимодействует с внешним магнитным полем.

Консольное уравнение движения

Когда кантилевер колеблется взад и вперед, он закидывает гиперболические кривые с характерной особенностью, которую касается консольного консоля, всегда пересекает одну точку вдоль средней оси. Из этого мы определяем эффективную длину кантилевера, $L_{e}$, чтобы быть расстоянием от этой точки до конца кантилевера (см. Изображение справа). Лагранжиан для этой системы затем дается

${\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}m\underbrace {(L_{e}{\dot {\theta }})^{2}} _{v^{2}}-\left(\underbrace {{\frac {1}{2}}k(L_{e}\theta )^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Restoring}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}-\underbrace {\mu B\cos {(\theta -\beta )}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Zeeman}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {K_{u}V\sin ^{2}{\beta }} _{\begin{smallmatrix}{\text{Anisotropy}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}\right)$ (Уравнение 1)

где $m$ Эффективная консольная масса, $V$ объем частицы, $k$ консольный консоль и $\mu$ это магнитный момент частицы. Чтобы найти уравнение движения, мы отмечаем, что у нас есть две переменные, $\theta$ и $\beta$ Таким образом, есть два соответствующих Лагранжских уравнения, которые необходимо решить как система уравнений,

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\beta }}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \beta }}\Rightarrow 0=\mu B\sin {(\theta -\beta )}-2K_{u}V\underbrace {\sin \beta \cos \beta } _{\approx \beta }\Rightarrow$

$\beta ={\frac {B\theta }{B+H_{k}}}$ (Уравнение 2)

где мы определили $H_{k}\equiv {\frac {2K_{u}V}{\mu }}$.

Мы можем подключить уравнение. 1 в наш лагранжиан, который затем становится функцией $\theta$ только. Затем $(\theta -\beta )={\frac {\theta H_{k}}{B+H_{k}}}$, и у нас есть

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\Rightarrow$

$mL_{e}^{2}{\ddot {\theta }}=-kL_{e}^{2}\theta -\mu B\sin {\left({\frac {\theta H_{k}}{B+H_{k}}}\right)}\left({\frac {H_{k}}{B+H_{k}}}\right)-2K_{u}V\sin {\left({\frac {\theta B}{B+H_{k}}}\right)}\cos {\left({\frac {\theta B}{B+H_{k}}}\right)}\left({\frac {B}{B+H_{k}}}\right)\Rightarrow$

$\approx -kL_{e}^{2}\theta -\mu B\theta \left({\frac {H_{k}}{B+H_{k}}}\right)^{2}-\mu H_{k}\theta \left({\frac {B}{B+H_{k}}}\right)^{2}\Rightarrow$

${\ddot {\theta }}+\theta \left({\frac {kL_{e}^{2}+{\frac {\mu BH_{k}}{(B+H_{k})}}}{mL_{e}^{2}}}\right)={\ddot {\theta }}+\theta \left(\omega _{o}^{2}+{\frac {\mu BH_{k}}{mL_{e}^{2}(B+H_{k})}}\right)=0,$

или

${\ddot {\theta }}+\omega ^{2}\theta =0,$ (Уравнение 3)

где $\omega ^{2}\equiv \left(\omega _{o}^{2}+{\frac {\mu BH_{k}}{mL_{e}^{2}(B+H_{k})}}\right)=\omega _{o}^{2}\left(1+{\frac {\mu BH_{k}}{kL_{e}^{2}(B+H_{k})}}\right)$Полем Решение этого дифференциального уравнения $\theta (t)=c_{1}\cos \omega t+c_{2}\sin \omega t$ где $c_{1}$ и $c_{2}$ это коэффициенты, определяемые начальными условиями. Движение простого маятника аналогично описывается этим дифференциальным уравнением и раствором в приближении небольшого угла.

Мы можем использовать биномиальное расширение, чтобы переписать $\omega$,

$\omega =\omega _{o}\left(1+{\frac {\mu BH_{k}}{kL_{e}^{2}(B+H_{k})}}\right)^{1/2}\approx \omega _{o}\left(1+{\frac {\mu BH_{k}}{2kL_{e}^{2}(B+H_{k})}}+...\right)\Rightarrow$

${\frac {\omega -\omega _{o}}{\omega _{o}}}={\frac {\Delta \omega }{\omega _{o}}}={\frac {\mu HH_{k}}{2kL_{e}^{2}(H+H_{k})}},$ (Уравнение 4)

то, что является формой, как видно из литературы, например, уравнение 2 в статье «Магнитное рассеивание и колебания в отдельных наномагнитах ультрачувствительной консольной магнитометрией ".