Гипотеза сестры Бейтер

В математике гипотеза сестры Бейтер — это гипотеза о размере коэффициентов троичных круговых многочленов (т. е. где индекс является произведением трёх простых чисел). Он назван в честь Марион Бейтер , католической монахини, которая впервые предложила его в 1968 году.

Фон

Для $n\in \mathbb {N} _{>0}$ максимальный коэффициент (по модулю) кругового многочлена $\Phi _{n}(x)$ обозначается $A(n)$.

Позволять $3\leq p\leq q\leq r$ быть тремя простыми числами. В этом случае круговой полином $\Phi _{pqr}(x)$ называется тройным . В 1895 году А. С. Банг доказал, что $A(pqr)\leq p-1$. Это подразумевает существование $M(p):=\max \limits _{p\leq q\leq r{\text{ prime}}}A(pqr)$ такой, что $1\leq M(p)\leq p-1$.

Заявление

Сестра Бейтер предположила в 1968 году это $M(p)\leq {\frac {p+1}{2}}$. Позже это было опровергнуто, но исправленная гипотеза сестры Бейтер : была выдвинута $M(p)\leq {\frac {2}{3}}p$.

Статус

Препринт от 2023 года подробно объясняет историю и утверждает, что доказал эту исправленную гипотезу. Он явно утверждает, что доказывает $$M(p)\leq {\frac {2}{3}}p{\text{ and }}\lim \limits _{p\rightarrow \infty }{\frac {M(p)}{p}}={\frac {2}{3}}.$$