Контроль импеданса

Управление импедансом — это подход к динамическому управлению, связывающему силу и положение. Он часто используется в приложениях, где манипулятор взаимодействует с окружающей средой и соотношение сил и положений вызывает беспокойство. Примеры таких приложений включают взаимодействие людей с роботами, где сила, создаваемая человеком, зависит от того, насколько быстро робот должен двигаться/остановиться. Более простые методы управления, такие как управление положением или управление крутящим моментом, работают плохо, когда манипулятор испытывает контакты. Таким образом, в этих условиях обычно используется контроль импеданса.

Механический импеданс — это отношение выходной силы к входному движению. Это аналогично электрическому импедансу, который представляет собой отношение выходного напряжения к входному току (например, сопротивление — это напряжение, деленное на ток). «Пружинная константа» определяет выходную силу при смещении (растяжении или сжатии) пружины. «Константа демпфирования» определяет выходную силу для входной скорости. Если мы контролируем сопротивление механизма, мы контролируем силу сопротивления внешним движениям, создаваемым окружающей средой.

Механический адмиттанс является обратным импедансу: он определяет движения, возникающие в результате воздействия силы. Если механизм прикладывает силу к окружающей среде, среда будет двигаться или не двигаться, в зависимости от ее свойств и приложенной силы. Например, мрамор, лежащий на столе, будет реагировать на данную силу совершенно иначе, чем бревно, плавающее в озере.

Ключевая теория, лежащая в основе этого метода, заключается в том, чтобы рассматривать окружающую среду как входной элемент , а манипулятор – как импеданс . Он предполагает постулат, что «ни один контроллер не может заставить манипулятор выглядеть для окружающей среды чем-то иным, чем физическая система».Это практическое правило также можно сформулировать следующим образом: «В наиболее распространенном случае, когда окружающая среда является допускающей (например, массой, возможно, кинематически ограниченной), это отношение должно быть импедансом, функцией, возможно, нелинейной, динамической или даже прерывистой. , определяющий силу, возникающую в ответ на движение, вызванное окружающей средой». ^[1]

Принцип

Контроль импеданса не просто регулирует силу или положение механизма. Вместо этого он регулирует соотношение между силой и положением, с одной стороны, и скоростью и ускорением, с другой стороны, то есть импеданс механизма. Для этого требуется позиция (скорость или ускорение) в качестве входных данных и результирующая сила в качестве выходных данных. Обратной стороной импеданса является адмиттанс. Это навязывает позицию.Таким образом, на самом деле контроллер накладывает на механизм поведение пружины-массы-демпфера, поддерживая динамическое соотношение между силой $({\boldsymbol {F}})$ и положение, скорость и ускорение $({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {v}},{\boldsymbol {a}})$ : ${\boldsymbol {F}}=M{\boldsymbol {a}}+C{\boldsymbol {v}}+K{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {f}}+{\boldsymbol {s}}$ , с ${\boldsymbol {f}}$ будучи трением и ${\boldsymbol {s}}$ являющаяся статической силой.

Массы ( $M$ ) и пружины (с жесткостью $K$ ) являются энергоаккумулирующими элементами, тогда как демпфер (с демпфирующим $C$ ) представляет собой устройство, рассеивающее энергию. Если мы сможем контролировать импеданс, мы сможем контролировать обмен энергией во время взаимодействия.т.е. выполняемая работа. Таким образом, контроль импеданса — это контроль взаимодействия. ^[2]

Обратите внимание, что механические системы по своей сути многомерны — типичная рука робота может размещать объект в трех измерениях ( $(x,y,z)$ координаты) и в трех направлениях (например, крен, тангаж, рыскание). Теоретически, контроллер импеданса может заставить механизм проявлять многомерное механическое сопротивление. Например, механизм может действовать очень жестко по одной оси и очень податливо по другой. Компенсируя кинематику и инерцию механизма, мы можем ориентировать эти оси произвольно и в различных системах координат. Например, мы могли бы сделать держатель детали робота очень жестким по касательной к шлифовальному кругу, но в то же время очень податливым (контролируя силу без особого внимания к положению) по радиальной оси круга.

Математические основы

Совместное пространство

Неуправляемый робот может быть выражен в лагранжевой формулировке как

${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {M}}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {q}}}+{\boldsymbol {c}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {g}}({\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {h}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }$ ,

( 1 )

где ${\boldsymbol {q}}$ обозначает угловое положение сустава, ${\boldsymbol {M}}$ – симметричная и положительно определенная матрица инерции, ${\boldsymbol {c}}$ Кориолис и центробежный момент, ${\boldsymbol {g}}$ гравитационный момент, ${\boldsymbol {h}}$ включает дополнительные крутящие моменты, возникающие, например, из-за собственной жесткости, трения и т. д., и ${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }$ суммирует все внешние силы из окружающей среды. Крутящий момент срабатывания ${\boldsymbol {\tau }}$ слева — входная переменная для робота.

Можно предложить закон управления следующего вида:

${\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {K}}({\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {D}}({\dot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\hat {\boldsymbol {M}}}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }+{\hat {\boldsymbol {c}}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\hat {\boldsymbol {g}}}({\boldsymbol {q}})+{\hat {\boldsymbol {h}}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}}),$

( 2 )

где ${\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }$ обозначает желаемое угловое положение сустава, ${\boldsymbol {K}}$ и ${\boldsymbol {D}}$ – параметры управления, а ${\hat {\boldsymbol {M}}}$ , ${\hat {\boldsymbol {c}}}$ , ${\hat {\boldsymbol {g}}}$ , и ${\hat {\boldsymbol {h}}}$ являются внутренней моделью соответствующих механических термов.

Подстановка ( 2 ) в ( 1 ) дает уравнение замкнутой системы (управляемого робота):

${\boldsymbol {K}}({\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {D}}({\dot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {M}}({\boldsymbol {q}})({\ddot {\boldsymbol {q}}}_{\mathrm {d} }-{\ddot {\boldsymbol {q}}})={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }.$

Позволять ${\boldsymbol {e}}={\boldsymbol {q}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {q}}$ , получается

${\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {e}}+{\boldsymbol {D}}{\dot {\boldsymbol {e}}}+{\boldsymbol {M}}{\ddot {\boldsymbol {e}}}={\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }$

Поскольку матрицы ${\boldsymbol {K}}$ и ${\boldsymbol {D}}$ имеют размерность жесткости и демпфирования, их обычно называют матрицей жесткости и демпфирования соответственно. Очевидно, что управляемый робот по сути представляет собой многомерный механический импеданс (масса-пружина-демпфер) по отношению к окружающей среде, к которому обращается ${\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {ext} }$ .

Пространство задач

Тот же принцип применим и к пространству задач. Неуправляемый робот имеет следующее представление пространства задач в лагранжевой формулировке:

${\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {\Lambda }}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}+{\boldsymbol {\mu }}({\boldsymbol {x}},{\dot {\boldsymbol {x}}})+{\boldsymbol {\gamma }}({\boldsymbol {q}})+{\boldsymbol {\eta }}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }$ ,

где ${\boldsymbol {q}}$ обозначает угловое положение сустава, ${\boldsymbol {x}}$ положение в пространстве задач, ${\boldsymbol {\Lambda }}$ симметричная и положительно определенная матрица инерции пространства задач. Условия ${\boldsymbol {\mu }}$ , ${\boldsymbol {\gamma }}$ , ${\boldsymbol {\eta }}$ , и ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }$ являются обобщенной силой Кориолиса и центробежным членом, гравитацией, другими нелинейными членами и контактами с окружающей средой. Обратите внимание, что это представление применимо только к роботам с избыточной кинематикой . Обобщенная сила ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}$ с левой стороны соответствует входному крутящему моменту робота.

Аналогично можно предложить следующий закон управления:

${\boldsymbol {\mathcal {F}}}={\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }({\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {x}})+{\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }({\dot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d} }-{\dot {\boldsymbol {x}}})+{\hat {\boldsymbol {\Lambda }}}({\boldsymbol {q}}){\ddot {\boldsymbol {x}}}_{\mathrm {d} }+{\hat {\boldsymbol {\mu }}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}})+{\hat {\boldsymbol {\gamma }}}({\boldsymbol {q}})+{\hat {\boldsymbol {\eta }}}({\boldsymbol {q}},{\dot {\boldsymbol {q}}}),$

где ${\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }$ обозначает желаемую позицию в пространстве задач, ${\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }$ и ${\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }$ – матрицы жесткости и демпфирования рабочего пространства, ${\hat {\boldsymbol {\Lambda }}}$ , ${\hat {\boldsymbol {\mu }}}$ , ${\hat {\boldsymbol {\gamma }}}$ , и ${\hat {\boldsymbol {\eta }}}$ являются внутренней моделью соответствующих механических термов.

Аналогично, у человека есть

${\boldsymbol {e}}_{\mathrm {x} }={\boldsymbol {x}}_{\mathrm {d} }-{\boldsymbol {x}}$ ,

${\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }{\boldsymbol {e}}_{\mathrm {x} }+{\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }{\dot {\boldsymbol {e}}}_{\mathrm {x} }+{\boldsymbol {\Lambda }}{\ddot {\boldsymbol {e}}}_{\mathrm {x} }={\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }$

( 3 )

как замкнутая система, которая по сути представляет собой многомерное механическое сопротивление окружающей среде ( ${\boldsymbol {\mathcal {F}}}_{\mathrm {ext} }$ ) также. Таким образом, можно выбрать желаемый импеданс (в основном жесткость) в пространстве задач. Например, можно заставить управляемого робота действовать очень жестко в одном направлении и относительно податливо в других, установив

${\boldsymbol {K}}_{\mathrm {x} }={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1000\end{pmatrix}}\mathrm {N/m} ,$

предполагая, что пространство задач представляет собой трехмерное евклидово пространство. Матрица демпфирования ${\boldsymbol {D}}_{\mathrm {x} }$ обычно выбирается таким, чтобы замкнутая система ( 3 ) была устойчивой . ^[3]

Приложения

Управление импедансом используется в таких приложениях, как робототехника, в качестве общей стратегии отправки команд роботизированной руке и конечному исполнительному устройству, которая учитывает нелинейную кинематику и динамику объекта, которым манипулируют. ^[4]

Ссылки

^ Хоган, Н. (6–8 июня 1984 г.). «Контроль импеданса: подход к манипулированию» (PDF) . Американская конференция по контролю . стр. 304, 313. Архивировано (PDF) из оригинала 21 декабря 2021 года . Проверено 19 сентября 2013 г. {{cite web}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
^ Бухли, Дж. (12 июля 2011 г.). «Контроль силы, податливости, сопротивления и взаимодействия, Динамическая ходьба и бег в Летней школе с роботами» (PDF) . стр. 212–243. Архивировано из оригинала (PDF) 16 октября 2017 года.
^ Альбу-Шеффер, А.; Отт, К.; Хирцингер, Г. (2004), «Декартовский контроллер импеданса на основе пассивности для роботов с гибкими суставами - часть II: полная обратная связь по состоянию, проектирование импеданса и эксперименты», В материалах Международной конференции IEEE по робототехнике и автоматизации 2004 г. , стр. 2666. –2672
^ Дитрих, А. (2016). Контроль импеданса всего тела колесных роботов-гуманоидов . Международное издательство Спрингер. ISBN 978-3-319-40556-8 . Архивировано из оригинала 7 сентября 2017 года . Проверено 1 сентября 2017 г.

[1] Хоган, Н. (6–8 июня 1984 г.). «Контроль импеданса: подход к манипулированию» (PDF) . Американская конференция по контролю . стр. 304, 313. Архивировано (PDF) из оригинала 21 декабря 2021 года . Проверено 19 сентября 2013 г. {{cite web}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )

[2] Бухли, Дж. (12 июля 2011 г.). «Контроль силы, податливости, сопротивления и взаимодействия, Динамическая ходьба и бег в Летней школе с роботами» (PDF) . стр. 212–243. Архивировано из оригинала (PDF) 16 октября 2017 года.

[3] Альбу-Шеффер, А.; Отт, К.; Хирцингер, Г. (2004), «Декартовский контроллер импеданса на основе пассивности для роботов с гибкими суставами - часть II: полная обратная связь по состоянию, проектирование импеданса и эксперименты», В материалах Международной конференции IEEE по робототехнике и автоматизации 2004 г. , стр. 2666. –2672

[4] Дитрих, А. (2016). Контроль импеданса всего тела колесных роботов-гуманоидов . Международное издательство Спрингер. ISBN 978-3-319-40556-8 . Архивировано из оригинала 7 сентября 2017 года . Проверено 1 сентября 2017 г.

[1]

[2]

[3]

[4]