Соскребающий поток Тейлора

В гидродинамике возникающий , скребковый поток Тейлора — это тип двумерного углового потока, когда одна стенка скользит по другой с постоянной скоростью, названный в честь Г.И. Тейлора .

Описание потока

Рассмотрим плоскую стену, расположенную в точке $\theta =0$ в цилиндрических координатах $(r,\theta )$, движущийся с постоянной скоростью $U$ влево. Рассмотрим еще одну плоскую стену (скребок), расположенную под наклоном и образующую угол $\alpha$ с позитива $x$ направлении и пусть точка пересечения находится в $r=0$. Это описание эквивалентно перемещению скребка вправо со скоростью $U$. Проблема единична в $r=0$ потому что в начале координат скорости прерывисты, поэтому градиент скорости там бесконечен.

Тейлор заметил, что инерционные условия незначительны, пока интересующая область находится в пределах $r\ll \nu /U$(или, что то же самое, число Рейнольдса $Re=Ur/\nu \ll 1$), таким образом, внутри области поток по существу является стоксовым . Например, Джордж Бэтчелор дает типичное значение для смазочного масла со скоростью $U=10{\text{ cm}}/{\text{s}}$ как $r\ll 0.4{\text{ cm}}$. Тогда для двумерной плоской задачи уравнение имеет вид

$\nabla ^{4}\psi =0,\quad u_{r}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }},\quad u_{\theta }=-{\frac {\partial \psi }{\partial r}}$

где $\mathbf {v} =(u_{r},u_{\theta })$ – поле скоростей и $\psi$ — это функция потока . Граничные условия:

${\begin{aligned}r>0,\ \theta =0:&\quad u_{r}=-U,\ u_{\theta }=0\\r>0,\ \theta =\alpha :&\quad u_{r}=0,\ u_{\theta }=0\end{aligned}}$

Решение

Попытка найти сепарабельное решение вида $\psi =Urf(\theta )$ сводит проблему к

$f^{iv}+2f''+f=0$

с граничными условиями

$f(0)=0,\ f'(0)=-1,\ f(\alpha )=0,\ f'(\alpha )=0$

Решение

$f(\theta )={\frac {1}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}[\theta \sin \alpha \sin(\alpha -\theta )-\alpha (\alpha -\theta )\sin \theta ]$

Следовательно, поле скоростей

${\begin{aligned}u_{r}&={\frac {U}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}\{\sin \alpha [\sin(\alpha -\theta )-\theta \cos(\alpha -\theta )]+\alpha [\sin \theta -(\alpha -\theta )\cos \theta ]\}\\u_{\theta }&=-{\frac {U}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}[\theta \sin \alpha \sin(\alpha -\theta )-\alpha (\alpha -\theta )\sin \theta ]\end{aligned}}$

Давление можно получить путем интегрирования уравнения количества движения

$\nabla p=\mu \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\quad p(r,\infty )=p_{\infty }$

что дает,

$p(r,\theta )-p_{\infty }={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\alpha \sin \theta +\sin \alpha \sin(\alpha -\theta )}{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}$

Напряжения на скребке

Напряжения на скребке

Касательное напряжение и нормальное напряжение на скребке, возникающее из-за сил давления и вязкости, равны

$\sigma _{t}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\sin \alpha -\alpha \cos \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }},\quad \sigma _{n}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\alpha \sin \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}$

То же напряжение скребка, если оно решено в соответствии с декартовыми координатами (параллельно и перпендикулярно нижней пластине, т.е. $\sigma _{x}=-\sigma _{t}\cos \alpha +\sigma _{n}\sin \alpha ,\ \sigma _{y}=\sigma _{t}\sin \alpha +\sigma _{n}\cos \alpha$) являются

$\sigma _{x}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\alpha -\sin \alpha \cos \alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }},\quad \sigma _{y}={\frac {2\mu U}{r}}{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\alpha ^{2}-\sin ^{2}\alpha }}$

Как отмечалось ранее, все напряжения становятся бесконечными при $r=0$, потому что градиент скорости там бесконечен. В реальной жизни в точке будет огромное давление, которое зависит от геометрии контакта. Напряжения показаны на рисунке, как указано в оригинальной статье Тейлора.

Напряжение в направлении, параллельном нижней стенке, уменьшается как $\alpha$ увеличивается и достигает минимального значения $\sigma _{x}=2\mu U/r$ в $\alpha =\pi$. Тейлор говорит: «Самая интересная и, возможно, неожиданная особенность расчетов состоит в том, что $\sigma _{y}$ не меняет знак в диапазоне $0<\alpha <\pi$. В диапазоне $\pi /2<\alpha <\pi$ вклад в $\sigma _{y}$ из-за нормального напряжения имеет противоположный знак, чем из-за касательного напряжения, но последнее больше. Мастихины, используемые художниками для удаления краски с палитр, представляют собой очень гибкие скребки. Поэтому их можно использовать только под таким углом, чтобы $\sigma _{n}$ мала и, как будет видно на рисунке, это происходит только тогда, когда $\alpha$ почти $180^{\circ }$. На самом деле художники инстинктивно держат свои мастихины именно в этом положении». Далее он добавляет: «С другой стороны, штукатур держит в руках разглаживающий инструмент, чтобы $\alpha$ мал. Таким образом, он может получить большие значения $\sigma _{y}/\sigma _{x}$ которые необходимы для вытеснения штукатурки из выступов в впадины».

Очистка степенной жидкости

Поскольку методы очистки важны для неньютоновских жидкостей (например, для очистки краски, лака для ногтей, крема, масла, меда и т. д.), важно учитывать этот случай. Анализ был проведен Дж. Ридлером и Вильгельмом Шнайдером в 1983 году, и им удалось получить автомодельные решения для степенных жидкостей, удовлетворяющих соотношению для кажущейся вязкости.

$\mu =m_{z}\left\{4\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial \theta }}\right)\right]^{2}+\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \theta ^{2}}}-r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)\right]^{2}\right\}^{(n-1)/2}$

где $m_{z}$ и $n$ являются константами. Решение для функции тока потока, создаваемого пластиной, движущейся вправо, определяется выражением

$\psi =Ur\left\{\left[1-{\frac {{\mathcal {J}}_{1}(\theta )}{{\mathcal {J}}_{1}(\alpha )}}\right]\sin \theta +{\frac {{\mathcal {J}}_{2}(\theta )}{{\mathcal {J}}_{1}(\alpha )}}\cos \theta \right\}$

где

${\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{1}&=\mathrm {sgn} (F)\int _{0}^{\theta }|F|^{1/n}\cos x\,dx,\\{\mathcal {J}}_{2}&=\mathrm {sgn} (F)\int _{0}^{\theta }|F|^{1/n}\sin x\,dx\end{aligned}}$

и

${\begin{aligned}F=\sin({\sqrt {n(2-n)}}x-C)\quad {\text{if}}\,n<2,\\F={\sqrt {x-C}}\qquad \qquad \qquad \quad {\text{if}}\,n=2,\\F=\sinh({\sqrt {n(n-2)}}x-C)\quad {\text{if}}\,n>2\end{aligned}}$

где $C$ является корнем ${\mathcal {J}}_{2}(\alpha )=0$. Можно проверить, что это решение сводится к решению Тейлора для ньютоновских жидкостей, т. е. когда $n=1$.