Адаптивный фильтр частотной области блока с несколькими задержками

Алгоритм адаптивного фильтра в частотной области с несколькими задержками (MDF) представляет собой блочную реализацию в частотной области (нормализованного) алгоритма фильтра наименьших среднеквадратических значений (LMS) .

Введение

Алгоритм MDF основан на том факте, что свертки можно эффективно вычислять в частотной области (благодаря быстрому преобразованию Фурье ). Однако алгоритм отличается от быстрого алгоритма LMS тем, что размер используемого им блока может быть меньше длины фильтра. Если оба равны, то MDF сводится к алгоритму FLMS.

Преимущества MDF перед алгоритмом (N)LMS:

• Меньшая алгоритмическая сложность
• Частичная декорреляция входных данных (которая «может» привести к более быстрой сходимости)

Определения переменных

Позволять $N$ быть длиной блоков обработки, $K$ быть числом блоков и $\mathbf {F}$ обозначают матрицу преобразования Фурье 2Nx2N. Переменные определяются как:

${\underline {\mathbf {e} }}(\ell )=\mathbf {F} \left[\mathbf {0} _{1xN},e(\ell N),\dots ,e(\ell N-N-1)\right]^{T}$

${\underline {\mathbf {x} }}_{k}(\ell )=\mathrm {diag} \left\{\mathbf {F} \left[x((\ell -k+1)N),\dots ,x((\ell -k-1)N-1)\right]^{T}\right\}$

${\underline {\mathbf {X} }}(\ell )=\left[{\underline {\mathbf {x} }}_{0}(\ell ),{\underline {\mathbf {x} }}_{1}(\ell ),\dots ,{\underline {\mathbf {x} }}_{K-1}(\ell )\right]$

${\underline {\mathbf {d} }}(\ell )=\mathbf {F} \left[\mathbf {0} _{1xN},d(\ell N),\dots ,d(\ell N-N-1)\right]^{T}$

С матрицами нормализации $\mathbf {G} _{1}$ и $\mathbf {G} _{2}$:

$\mathbf {G} _{1}=\mathbf {F} {\begin{bmatrix}\mathbf {0} _{N\times N}&\mathbf {0} _{N\times N}\\\mathbf {0} _{N\times N}&\mathbf {I} _{N\times N}\\\end{bmatrix}}\mathbf {F} ^{H}$

${\tilde {\mathbf {G} }}_{2}=\mathbf {F} {\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{N\times N}&\mathbf {0} _{N\times N}\\\mathbf {0} _{N\times N}&\mathbf {0} _{N\times N}\\\end{bmatrix}}\mathbf {F} ^{H}$

$\mathbf {G} _{2}=\operatorname {diag} \left\{{\tilde {\mathbf {G} }}_{2},{\tilde {\mathbf {G} }}_{2},\dots ,{\tilde {\mathbf {G} }}_{2}\right\}$

На практике при умножении вектор-столбца $\mathbf {x}$ к $\mathbf {G} _{1}$, мы принимаем обратное БПФ $\mathbf {x}$, установите первый $N$ значения в результате обнулить, а затем выполнить БПФ. Это предназначено для устранения эффектов круговой свертки.

Описание алгоритма

Для каждого блока алгоритм MDF рассчитывается как:

${\underline {\hat {\mathbf {y} }}}(\ell )=\mathbf {G} _{1}{\underline {\mathbf {X} }}(\ell ){\underline {\hat {\mathbf {h} }}}(\ell -1)$

${\underline {\mathbf {e} }}(\ell )={\underline {\mathbf {d} }}(\ell )-{\underline {\hat {\mathbf {y} }}}(\ell )$

$\mathbf {\Phi } _{\mathbf {xx} }(\ell )={\underline {\mathbf {X} }}^{H}(\ell ){\underline {\mathbf {X} }}(\ell )$

${\underline {\hat {\mathbf {h} }}}(\ell )={\underline {\hat {\mathbf {h} }}}(\ell -1)+\mu \mathbf {G} _{2}\mathbf {\Phi } _{\mathbf {xx} }^{-1}(\ell ){\underline {\mathbf {X} }}^{H}(\ell ){\underline {\mathbf {e} }}(\ell )$

Стоит отметить, что, хотя алгоритм легче выразить в матричной форме, фактическая реализация не требует умножения матриц. Например, вычисление матрицы нормализации $\mathbf {\Phi } _{\mathbf {xx} }={\underline {\mathbf {X} }}^{H}(\ell ){\underline {\mathbf {X} }}(\ell )$ сводится к поэлементному векторному умножению, поскольку ${\underline {\mathbf {X} }}(\ell )$ является блок-диагональным. То же самое касается и других умножений.

Ссылки

• Ж.-С. Су и К. Панг, « Адаптивный фильтр частотной области с блоками с несколькими задержками », IEEE Transactions on Acoustics, Speech and Signal Processing , vol. 38, нет. 2, стр. 373–376, 1990.
• Х. Бухнер, Дж. Бенести, В. Келлерманн, «Расширенный фильтр с несколькими задержками: быстрые алгоритмы с малой задержкой для адаптивных систем очень высокого порядка». Учеб. Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов (ICASSP) , 2003 г.
• Бесплатная реализация алгоритма MDF доступна в Speex ( основной исходный файл ).

См. также

• Адаптивный фильтр
• Рекурсивный метод наименьших квадратов
• Статистические методы, относящиеся к фильтру LMS, см. в разделе Наименьшие квадраты .