Относительный скаляр

В математике относительный скаляр (веса w ) — это скалярная функция , преобразование которой при преобразовании координат

${\bar {x}}^{j}={\bar {x}}^{j}(x^{i})$

на n -мерном многообразии подчиняется следующему уравнению

${\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=J^{w}f(x^{i})$

где

$J=\left|{\dfrac {\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}{\partial ({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n})}}\right|,$

то есть определитель якобиана преобразования . ^[1] Скалярная плотность относится к $w=1$ случай.

Относительные скаляры являются важным частным случаем более общего понятия относительного тензора .

Обыкновенный скаляр

Обыкновенный скаляр или абсолютный скаляр ^[2] относится к $w=0$ случай.

Если $x^{i}$ и ${\bar {x}}^{j}$ обратитесь к тому же пункту $P$ на многообразии, то мы желаем ${\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i})$ . Это уравнение можно интерпретировать двояко, если ${\bar {x}}^{j}$ рассматриваются как «новые координаты» и $x^{i}$ рассматриваются как «исходные координаты». Первый - это как ${\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i}({\bar {x}}^{j}))$ , который «преобразует функцию в новые координаты». Второй такой как $f(x^{i})={\bar {f}}({\bar {x}}^{j}(x^{i}))$ , который «преобразовывает обратно в исходные координаты. Конечно, «новый» или «исходный» — понятие относительное.

Существует множество физических величин, которые представлены обычными скалярами, например, температура и давление.

Пример веса 0

Предположим, что температура в помещении задана через функцию $f(x,y,z)=2x+y+5$ в декартовых координатах $(x,y,z)$ и функция в цилиндрических координатах $(r,t,h)$ желательно. Две системы координат связаны следующими наборами уравнений: ${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\t&=\arctan(y/x)\\h&=z\end{aligned}}$ и ${\begin{aligned}x&=r\cos(t)\\y&=r\sin(t)\\z&=h.\end{aligned}}$

С использованием ${\bar {f}}({\bar {x}}^{j})=f(x^{i}({\bar {x}}^{j}))$ позволяет вывести ${\bar {f}}(r,t,h)=2r\cos(t)+r\sin(t)+5$ как преобразованная функция.

Рассмотрим точку $P$ чьи декартовы координаты $(x,y,z)=(2,3,4)$ и соответствующее значение которого в цилиндрической системе равно $(r,t,h)=({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)$ . Быстрый расчет показывает, что $f(2,3,4)=12$ и ${\bar {f}}({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)=12$ также. Это равенство сохранялось бы для любой выбранной точки $P$ . Таким образом, $f(x,y,z)$ - «функция температуры в декартовой системе координат» и ${\bar {f}}(r,t,h)$ — «функция температуры в цилиндрической системе координат».

Один из способов рассматривать эти функции — это представление «родительской» функции, которая принимает точку многообразия в качестве аргумента и задает температуру.

Проблему можно было обратить вспять. Можно было бы дать ${\bar {f}}$ и хотел получить декартову температурную функцию $f$ . Это просто переворачивает понятие «новой» и «исходной» системы координат.

Предположим, что кто-то желает интегрировать эти функции в «комнате», которую будем обозначать через $D$ . (Да, интегрирование температуры — это странно, но отчасти именно это и нужно показать.) Предположим, что область $D$ задается в цилиндрических координатах как $r$ от $[0,2]$ , $t$ от $[0,\pi /2]$ и $h$ от $[0,2]$ (то есть «комната» представляет собой четверть цилиндра радиуса и высоты 2).Интеграл $f$ по региону $D$ является ^{[ нужна ссылка ]} $\int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\!\int _{0}^{2}\!f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx=16+10\pi .$ Значение интеграла ${\bar {f}}$ над тем же регионом ^{[ нужна ссылка ]} $\int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)\,dh\,dt\,dr=12+10\pi .$ Они не равны. Интеграл температуры не зависит от используемой системы координат. В этом смысле оно нефизично и, следовательно, «странно». Заметим, что если интеграл от ${\bar {f}}$ включал фактор якобиана (который как раз и есть $r$ ), мы получаем ^{[ нужна ссылка ]} $\int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)r\,dh\,dt\,dr=16+10\pi ,$ который равен исходному интегралу, но, однако, не является интегралом температуры , поскольку температура является относительным скаляром с весом 0, а не относительным скаляром с весом 1.

Вес 1 пример

Если бы мы сказали $f(x,y,z)=2x+y+5$ однако представляло массовую плотность, тогда ее преобразованное значениедолжен включать фактор Якобиана, учитывающий геометрическое искажение координатысистема. Преобразованная функция теперь ${\bar {f}}(r,t,h)=(2r\cos(t)+r\sin(t)+5)r$ . На этот раз $f(2,3,4)=12$ но ${\bar {f}}({\sqrt {13}},\arctan {(3/2)},4)=12{\sqrt {29}}$ . Как и раньшеявляется целым (общая масса) в декартовых координатах равна $\int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\sqrt {2^{2}-x^{2}}}\!\int _{0}^{2}\!f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx=16+10\pi .$ Значение интеграла ${\bar {f}}$ над тем же регионом $\int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)\,dh\,dt\,dr=16+10\pi .$ Они равны. Интеграл от плотности массы дает общую массу, которая является понятием, не зависящим от координат.Заметим, что если интеграл от ${\bar {f}}$ также включает в себя фактор якобиана, как и раньше, мы получаем ^{[ нужна ссылка ]} $\int _{0}^{2}\!\int _{0}^{\pi /2}\!\int _{0}^{2}\!{\bar {f}}(r,t,h)r\,dh\,dt\,dr=24+40\pi /3,$ что не равно предыдущему случаю.