фильтр Каутца

В обработке сигналов фильтр Каутца , названный в честь Уильяма Х. Каутца , представляет собой фиксированным полюсом с фильтр , опубликованный в 1954 году.

Как и фильтры Лагерра , фильтры Каутца могут быть реализованы с использованием каскада всепроходных фильтров с однополюсным фильтром нижних частот на каждом отводе между всепропускающими секциями.

Ортогональный набор

Учитывая набор реальных полюсов $\{-\alpha _{1},-\alpha _{2},\ldots ,-\alpha _{n}\}$, преобразование Лапласа базиса Каутца ортонормированного определяется как произведение однополюсного коэффициента пропускания нижних частот на коэффициент пропускания возрастающего порядка:

$\Phi _{1}(s)={\frac {\sqrt {2\alpha _{1}}}{(s+\alpha _{1})}}$

$\Phi _{2}(s)={\frac {\sqrt {2\alpha _{2}}}{(s+\alpha _{2})}}\cdot {\frac {(s-\alpha _{1})}{(s+\alpha _{1})}}$

$\Phi _{n}(s)={\frac {\sqrt {2\alpha _{n}}}{(s+\alpha _{n})}}\cdot {\frac {(s-\alpha _{1})(s-\alpha _{2})\cdots (s-\alpha _{n-1})}{(s+\alpha _{1})(s+\alpha _{2})\cdots (s+\alpha _{n-1})}}$.

Во временной области это эквивалентно

$\phi _{n}(t)=a_{n1}e^{-\alpha _{1}t}+a_{n2}e^{-\alpha _{2}t}+\cdots +a_{nn}e^{-\alpha _{n}t}$,

где a _ni — коэффициенты разложения в частные дроби ,

$\Phi _{n}(s)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {a_{ni}}{s+\alpha _{i}}}$

Для фильтров Каутца с дискретным временем используются те же формулы, с z вместо s .

Связь с полиномами Лагерра

Если все полюса совпадают в точке s = -a , то ряд Каутца можно записать как:
$\phi _{k}(t)={\sqrt {2a}}(-1)^{k-1}e^{-at}L_{k-1}(2at)$,
где L _k обозначает полиномы Лагерра .

См. также

• Код Каутца