Пентаграмма KCBS

В квантовых основах пентаграмма KCBS была открыта Александром Клячко , М. Али Джаном , Синем Биничиоглу и Александром Шумовским как пример, опровергающий неконтекстные модели скрытых переменных .

Допустим, у нас есть пентаграмма, представляющая собой граф с 5 вершинами и 5 ребрами. Каждую вершину можно покрасить в красный или синий цвет. Говорят, что ребро совпадает, если обе его вершины имеют одинаковый цвет. В противном случае это несоответствие. В модели скрытых переменных общее количество несоответствий по всем ребрам должно быть четным числом из-за цикличности, т. е. 0, 2 или 4. Таким образом, при смешении вероятностей по назначениям скрытых переменных математическое ожидание суммы несовпадений по всем 5 ребрам должно находиться в диапазоне от 0 до 4.

Затем кто-то вручает вам огромное количество пентаграмм KCBS, но сначала все раскраски скрыты. Вам сказали, что вы можете раскрыть не более двух вершин, и только если они имеют общее ребро. Итак, для каждой пентаграммы вы случайным образом выбираете ребро и раскрываете цвета ее вершин. Этот случайный выбор необходим, потому что, если бы производители пентаграмм могли заранее угадать ваш выбор для каждой пентаграммы, он мог бы «сговориться», чтобы обмануть вас. Независимо от того, какое ребро вы выберете, вы найдете сине-синее с вероятностью $1-{\frac {2}{\sqrt {5}}}$ , красно-синий с ${\frac {1}{\sqrt {5}}}$ , и сине-красный с ${\frac {1}{\sqrt {5}}}$ . Итак, математическое ожидание суммы несовпадений равно $2{\sqrt {5}}\approx 4.47>4$ .

Как это было сделано? Каждая пентаграмма представляет собой трехмерную квантовую систему с ортонормированным базисом. $\left\{|A\rangle ,|B\rangle ,|C\rangle \right\}$ . Каждая пентаграмма инициализируется $|C\rangle$ . Каждой вершине назначается 1D-проектор, проецирующийся на ${\frac {1}{\sqrt {\sqrt {5}}}}|C\rangle +{\sqrt {1-{\frac {1}{\sqrt {5}}}}}\left[\cos \left({\frac {4\pi n}{5}}\right)|A\rangle +\sin \left({\frac {4\pi n}{5}}\right)|B\rangle \right]$ , n = 0, ..., 4 . Соседние проекторы перемещаются. Если мы проецируем, раскрасьте вершину в красный цвет. В противном случае раскрасьте его синим цветом.