Плотность энергии без искажений

Плотность свободной энергии искажений — это величина, которая описывает увеличение плотности свободной энергии жидкого кристалла , вызванное искажениями его равномерно выровненной конфигурации. Ее также часто называют плотностью свободной энергии Франка, названной в честь Фредерика Чарльза Франка .

Нематический жидкий кристалл

Плотность свободной энергии искажений в нематическом жидком кристалле является мерой увеличения свободной энергии Гельмгольца на единицу объема из-за отклонений в ориентационном упорядочении от равномерно выровненной конфигурации директора нематика. Таким образом, полная плотность свободной энергии нематика определяется выражением:

${\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\mathcal {F}}_{d},$

где ${\mathcal {F}}_{T}$ - полная плотность свободной энергии жидкого кристалла, ${\mathcal {F}}_{0}$ - плотность свободной энергии, связанная с равномерно ориентированным нематиком, и ${\mathcal {F}}_{d}$ – вклад в плотность свободной энергии за счет искажений этого порядка. Для нехирального нематического жидкого кристалла ${\mathcal {F}}_{d}$ Обычно считается, что он состоит из трех терминов, определяемых:

${\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{1}(\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \times \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \nabla \times \mathbf {\hat {n}} )^{2}.$

Единичный вектор $\mathbf {\hat {n}}$ – нормированный директор молекул $(|\mathbf {\hat {n}} |=1)$, который описывает характер искажения. Три константы $K_{i}$ известны как константы Франка и зависят от конкретного описываемого жидкого кристалла. Обычно они имеют порядок $10^{-6}$ dynмужчина Каждый из трех членов представляет собой тип искажения нематика. Первый термин представляет собой чистое расширение, второй термин - чистое скручивание, а третий термин - чистый изгиб. Комбинацию этих терминов можно использовать для обозначения произвольной деформации жидкого кристалла. Часто бывает, что все три константы Франка имеют один и тот же порядок величины, поэтому обычно ее аппроксимируют следующим образом: $K_{1}=K_{2}=K_{3}=K$. Это приближение обычно называют приближением с одной константой и используется преимущественно потому, что свободная энергия упрощается в этой гораздо более компактной с вычислительной точки зрения форме:

${\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K\left[(\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2}+|\nabla \times \mathbf {\hat {n}} |^{2}\right].$

К плотности свободной энергии Франка также обычно добавляют четвертый член, называемый энергией седлового отклонения, который описывает поверхностное взаимодействие. Его часто игнорируют при расчете конфигураций поля директора, поскольку энергии в объеме жидкого кристалла часто больше, чем энергии на поверхности. Его дают:

${\frac {1}{2}}K_{4}\nabla \cdot \left[(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla )\mathbf {\hat {n}} -\mathbf {\mathbf {\hat {n}} } (\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} )\right].$

Если включения добавляются в жидкий кристалл, дополнительный член вносит вклад в плотность свободной энергии из-за их присутствия, часто характеризуемый термином, известным как приближение Рапини:

${\mathcal {F}}_{s}=-\oint {\frac {1}{2}}W(\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {\hat {\nu }} )^{2}\mathrm {d} S.$

Энергия сцепления определяется выражением $W$ и единичный вектор $\mathbf {\hat {\nu }}$ перпендикулярен поверхности частицы.

Хиральный жидкий кристалл

Для случая, когда жидкий кристалл состоит из киральных молекул, к плотности свободной энергии искажений добавляется дополнительный член. Термин меняет знак, когда оси инвертируются, и определяется как:

${\mathcal {F}}_{Ch}=k_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \times \mathbf {\hat {n}} ).$

Префактор $k_{2}$ зависит от степени хиральности молекул. Следовательно, для случая кирального жидкого кристалла полная плотность свободной энергии определяется выражением:

${\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\frac {1}{2}}K_{1}(\nabla \cdot \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \nabla \times \mathbf {\hat {n}} +q_{0})^{2}+{\frac {1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \nabla \times \mathbf {\hat {n}} )^{2}.$

Количество $q_{0}=2\pi /P_{0}$ описывает поле $P_{0}$ холестерической спирали.

Вклад электрического и магнитного поля

В результате анизотропных диамагнитных свойств и электрической поляризуемости жидкокристаллических мезогенов электрические и магнитные поля могут вызывать выравнивание в жидких кристаллах. Применяя поле, можно эффективно снизить свободную энергию жидкого кристалла.

Чтобы понять влияние магнитного поля на плотность свободной энергии искажений, небольшая область локального нематического порядка $\mathbf {\hat {n}}$ часто рассматривается, в каком $\chi _{\perp }$ и $\chi _{\parallel }$ магнитная восприимчивость перпендикулярна и параллельна $\mathbf {\hat {n}}$. Значение $\Delta \chi \equiv \chi _{\parallel }-\chi _{\perp }=N<P_{2}(\cos {\theta })>$, где N — число мезогенов в единице объема. Тогда работа на единицу объема, совершаемая полем, определяется по формуле:

$W_{magnetic}=\int _{0}^{H}(-M_{\perp }\sin {\theta }-M_{\parallel }\cos {\theta })\,dH=-{\frac {H^{2}}{2}}(\chi _{\perp }+\Delta \chi \cos {\theta }^{2}),$

где:

$M_{\parallel }=H\chi _{\parallel }\cos {\theta }$

$M_{\perp }=H\chi _{\perp }\sin {\theta }.$

Поскольку $-{\frac {H^{2}\chi _{\perp }}{2}}$ Этот член пространственно инвариантен, его можно игнорировать, и поэтому магнитный вклад в плотность свободной энергии искажений становится:

$-{\frac {\Delta \chi }{2}}[\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {n}} ]^{2}.$

Используя аналогичные аргументы, можно найти вклад электрического поля в свободную энергию искажений, который определяется выражением:

$-{\frac {\Delta \epsilon }{8\pi }}[\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {n}} ]^{2}.$

Количество $\Delta \epsilon \equiv \epsilon _{\parallel }-\epsilon _{\perp }$ - это разница между локальными диэлектрическими проницаемостями, перпендикулярными и параллельными $\mathbf {\hat {n}}$.

Ссылки

• Чайкин, Павел М .; Лубенски, Том С. (1995). Основы физики конденсированного состояния . Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-43224-3 .
• Чандрасекхар, Шиварамакришна (1992). Жидкие кристаллы (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-41747-3 .
• де Женн, Пьер-Жиль ; Прост, Дж. (10 августа 1995 г.). Физика жидких кристаллов (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-851785-8 .
• Камиен, Рэндалл Д.; Селинджер, Джонатан В. (22 января 2001 г.). «Порядок и разочарование в хиральных жидких кристаллах». Физический журнал: конденсированное вещество . 13 (3). arXiv : cond-mat/0009094 . Бибкод : 2001JPCM...13R...1K . дои : 10.1088/0953-8984/13/3/201 .
• Куксенок О.В.; Рухвандль, RW; Шияновский С.В.; Терентьев Е.М. (ноябрь 1996 г.). «Директорная структура вокруг коллоидной частицы, взвешенной в нематическом жидком кристалле». Физический обзор E . 54 (5): 5198–5203. Бибкод : 1996PhRvE..54.5198K . дои : 10.1103/PhysRevE.54.5198 .
• Пристли, Э.Б.; Войтович, Питер Дж.; Шэн, Пин (1975). Введение в жидкие кристаллы . Пленум Пресс. ISBN  0-306-30858-4 .