Формула Хелфера-Шёстранда

В математике, точнее, в функциональном анализе, формула Хельфера-Шёстранда представляет собой формулу для вычисления функции самосопряженного оператора .

Фон

Если $f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )$, то мы можем найти функцию ${\tilde {f}}\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {C} )$ такой, что ${\tilde {f}}|_{\mathbb {R} }=f$, и для каждого $N\geq 0$, существует $C_{N}>0$ такой, что

$|{\bar {\partial }}{\tilde {f}}|\leq C_{N}|\operatorname {Im} z|^{N}.$

Такая функция ${\tilde {f}}$ называется почти аналитическим расширением $f$.

Формула

Если $f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )$ и $A$ является самосопряженным оператором в гильбертовом пространстве, то

$f(A)={\frac {1}{\pi }}\int _{\mathbb {C} }{\bar {\partial }}{\tilde {f}}(z)(z-A)^{-1}\,dx\,dy$

где ${\tilde {f}}$ является почти аналитическим расширением $f$, и ${\bar {\partial }}_{z}:={\frac {1}{2}}(\partial _{Re(z)}+i\partial _{Im(z)})$.

См. также

• Интегральная формула Коши

Ссылки

• Конспект лекций по закону Вейля

Дальнейшее чтение

• Спектральные меры: Хельфер-Шёстранд