Бискросс-произведение алгебры Хопфа

В квантовой группе и алгебре Хопфа — бикросс-произведение это процесс создания новых алгебр Хопфа из заданных. Это мотивировано Заппы – Сепа произведением групп . Впервые он был обсужден М. Такеучи в 1981 г. и теперь общий инструмент для построения квантового двойника Дринфельда.

Бикроссированный продукт

Рассмотрим две биалгебры $A$ и $X$, если существуют линейные отображения $\alpha :A\otimes X\to X$ поворот $X$ модулей Коалгебра над $A$, и $\beta :A\otimes X\to A$ поворот $A$ правого в коалгебру модуля над $X$. Мы назовем их парой спаренных биалгебр, если положить $\alpha (a\otimes x)=a\cdot x$ и $\beta (a\otimes x)=a^{x}$, выполняются следующие условия

$a\cdot (xy)=\sum _{(a),(x)}(a_{(1)}\cdot x_{(1)})(a_{(2)}^{x_{(2)}}\cdot y)$

$a\cdot 1_{X}=\varepsilon _{A}(a)1_{X}$

$(ab)^{x}=\sum _{(b),(x)}a^{b_{(1)}\cdot x_{(1)}}b_{(2)}^{x_{(2)}}$

$1_{A}^{x}=\varepsilon _{X}(x)1_{A}$

$\sum _{(a),(x)}a_{(1)}^{x_{(1)}}\otimes a_{(2)}\cdot x_{(2)}=\sum _{(a),(x)}a_{(2)}^{x_{(2)}}\otimes a_{(1)}\cdot x_{(1)}$

для всех $a,b\in A$ и $x,y\in X$. обозначение Свидлера копроизведения алгебры Хопфа Здесь используется .

Для согласованной пары алгебр Хопфа $A$ и $X$, существует единственная алгебра Хопфа над $X\otimes A$, результирующая алгебра Хопфа называется бискрещенным произведением $A$ и $X$ и обозначается $X\bowtie A$,

• Единица измерения дана $(1_{X}\otimes 1_{A})$;
• Умножение определяется выражением $(x\otimes a)(y\otimes b)=\sum _{(a),(y)}x(a_{(1)}\cdot y_{(1)})\otimes a_{(2)}^{y_{(2)}}b$;
• Единица $\varepsilon (x\otimes a)=\varepsilon _{X}(x)\varepsilon _{A}(a)$;
• Копродукт $\Delta (x\otimes a)=\sum _{(x),(a)}(x_{(1)}\otimes a_{(1)})\otimes (x_{(2)}\otimes a_{(2)})$;
• Антипод - это $S(x\otimes a)=\sum _{(x),(a)}S(a_{(2)})\cdot S(x_{(2)})\otimes S(a_{(1)})^{S(x_{(1)})}$.

Квантовый двойник Дринфельда

Для данной алгебры Хопфа $H$, его двойное пространство $H^{*}$ имеет каноническую структуру алгебры Хопфа и $H$ и $H^{*cop}$ являются согласованными парами. В этом случае их скрещенное произведение называется квантовым дублем Дринфельда. $D(H)=H^{*cop}\bowtie H$.