Уравнение качания

Энергосистема работающих состоит из ряда синхронных машин, синхронно при всех условиях эксплуатации. В нормальных условиях эксплуатации взаимное положение оси ротора и оси результирующего магнитного поля фиксировано. Угол между ними известен как угол мощности , угол крутящего момента или угол ротора . Во время любого возмущения ротор замедляется или ускоряется относительно синхронно вращающейся магнитодвижущей силы воздушного зазора, создавая относительное движение. Уравнение, описывающее относительное движение, известно как уравнение качания, которое представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка , описывающее качание ротора синхронной машины. Обмен энергией между механическим ротором и электрической сетью за счет качания ротора (ускорения и замедления) называется инерционной реакцией .

Вывод

приводится Синхронный генератор в движение первичным двигателем. Уравнение, управляющее движением ротора, имеет вид:

J{\frac {d^{2}{\theta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}}

Н -м

Где:

$J$ - полный момент инерции массы ротора в кг-м. ²
$\theta _{\text{m}}$ - угловое положение ротора относительно неподвижной оси в (рад)
$t$ время в секундах (с)
$T_{\text{m}}$ механический крутящий момент, создаваемый первичным двигателем, в Нм .
$T_{\text{e}}$ выходной электрический крутящий момент генератора переменного тока в Нм .
$T_{a}$ чистый ускоряющий момент Нм ,

Если пренебречь потерями, разница между механическим и электрическим моментом дает чистый ускоряющий момент T _a . В установившемся режиме электрический момент равен механическому моменту и, следовательно, ускоряющая сила равна нулю. ^[1] В течение этого периода ротор движется с синхронной скоростью ω _s в рад/с. Электрический крутящий момент T _e соответствует полезной мощности воздушного зазора в машине и, таким образом, составляет общую выходную мощность генератора плюс I. ²Потери R в обмотке якоря .

Угловое положение θ измеряется в неподвижной системе отсчета. Представление его относительно синхронно вращающейся системы координат дает:

\theta _{\text{m}}=\omega _{\text{s}}t+\delta _{\text{m}}

где δ _m – угловое положение в рад относительно синхронно вращающейся системы отсчета. Производная приведенного выше уравнения по времени равна:

{\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}}=\omega _{\text{s}}+{\frac {d\delta _{\text{m}}}{dt}}

Приведенные выше уравнения показывают, что угловая скорость ротора равна синхронной скорости только тогда, когда dδ _m /d t равна нулю. Следовательно, член dδ _m /d t представляет собой отклонение скорости ротора от синхронизма в рад/с.

Если взять производную второго порядка приведенного выше уравнения, получится:

{\frac {d^{2}\theta _{\text{m}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}\delta _{\text{m}}}{dt^{2}}}

Подстановка приведенного выше уравнения в уравнение движения ротора дает:

J{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=T_{a}=T_{\text{m}}-T_{\text{e}}

Н -м

Вводя для обозначения угловую скорость _{ω m ,} ротора $\omega _{\text{m}}={\frac {d\theta _{\text{m}}}{dt}}$ и умножив обе части на ω _m ,

J\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{a}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}}

В

где P _m , P _e и Pa _. соответственно — механическая, электрическая и ускоряющая мощность в МВт

Коэффициент представляет собой Jω _m угловой момент ротора: при синхронной скорости ω _s он обозначается М и называется постоянной инерции машины. Нормализуя его как

H={\frac {\text{stored kinetic energy in mega joules at synchronous speed}}{\text{machine rating in MVA}}}={\frac {J\omega _{\text{s}}^{2}}{2S_{\text{rated}}}}

МДж/МВА

где S _rated — это трехфазная мощность машины в МВА . Подставив в приведенное выше уравнение

2H{\frac {S_{\text{rated}}}{\omega _{\text{s}}^{2}}}\omega _{\text{m}}{\frac {d^{2}{\delta _{\text{m}}}}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{\text{e}}=P_{a}

.

В установившемся режиме угловая скорость машины равна синхронной скорости, и, следовательно, ω _m в приведенном выше уравнении можно заменить на ω _s . Поскольку P _m , P _e и Pa _{указаны} в МВт, деление их на номинальную мощность S генератора _{дает эти величины в расчете} на единицу. Разделив приведенное выше уравнение с обеих сторон на S, _{рейтинг} получим

${\frac {2H}{\omega _{\text{s}}}}{\frac {d^{2}{\delta }}{dt^{2}}}=P_{\text{m}}-P_{e}=P_{a}$ за единицу

Приведенное выше уравнение описывает поведение динамики ротора и, следовательно, известно как уравнение качания. Угол δ — это угол внутренней ЭДС генератора, который определяет количество мощности, которое может быть передано. Поэтому этот угол называется углом нагрузки.

Ссылки

^ Грейнджер, Джон Дж.; Стивенсон, Уильям Д. (1 января 1994 г.). Анализ энергосистемы . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-061293-8 .

[GraingerStevenson1994-1] Грейнджер, Джон Дж.; Стивенсон, Уильям Д. (1 января 1994 г.). Анализ энергосистемы . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-061293-8 .

[1]