p-МКЭ

p-FEM или p-версия метода конечных элементов — численный метод решения уравнений в частных производных . Это стратегия дискретизации, в которой сетка конечных элементов фиксирована, а полиномиальные степени элементов увеличиваются так, что наименьшая полиномиальная степень, обозначаемая $p_{\min }$ , приближается к бесконечности. Это контрастирует с «h-версией» или «h-FEM», широко используемой стратегией дискретизации, в которой полиномиальные степени элементов фиксированы, а сетка уточняется так, что диаметр наибольшего элемента, обозначаемый $h_{\max }$ приближается к нулю.

в 1978 году продемонстрировали, что последовательности решений методом конечных элементов, основанные на p-версии, сходятся быстрее, чем последовательности, основанные на h-версии На основе линейной задачи механики упругого разрушения Сабо и Мехта . ^[1] Теоретические основы p-версии были заложены в статье, опубликованной Бабушкой , Сабо и Кацем в 1981 году. ^[2] где было показано, что для большого класса задач асимптотическая скорость сходимости p-версии по энергетической норме как минимум вдвое превышает скорость h-версии в предположении использования квазиоднородных сеток. Дополнительные результаты вычислений и доказательства более быстрой сходимости p-версии были представлены Бабушкой и Сабо в 1982 году. ^[3]

Различие между h- и p-версиями существует прежде всего по историческим и теоретическим причинам. В практических приложениях важны как конструкция сетки, так и выбор степеней полинома. Фактически, можно реализовать экспоненциальную скорость сходимости, если использовать p-версию в сочетании с правильным дизайном сетки. Этот вопрос обсуждался с инженерной точки зрения Сабо и с теоретической точки зрения Го и Бабушкой в 1986 году. ^[4]^[5] Реализация экспоненциальной скорости сходимости для уравнений Максвелла обсуждалась Костбелем , Дауге и Швабом в 2005 году. ^[6]

Ссылки

^ Сабо, Б.А. и Мехта, А.К., «p-сходящиеся аппроксимации конечных элементов в механике разрушения». Международный журнал численных методов в технике 12, стр. 551–560, 1978.
^ Бабушка И., Сабо Б.А. и Кац И.Н., «Р-версия метода конечных элементов». Журнал SIAM по численному анализу 18, стр. 515–545, 1981.
^ Бабушка И. и Сабо Б.А., «О скорости сходимости метода конечных элементов». Международный журнал численных методов в технике 18, стр. 323–341, 1982.
^ Сабо, Б.А., «Разработка сетки для p-версии метода конечных элементов». Компьютерные методы в прикладной механике и технике 55 (1), стр. 181–197, 1986.
^ Го, Б. и Бабушка, И. «HP-версия метода конечных элементов. Часть 1. Основные результаты аппроксимации». Вычислительная механика 55, стр. 21–41, 1986.
^ Костабель М., Дауге М. и Шваб К., «Экспоненциальная сходимость hp-FEM для уравнений Максвелла с взвешенной регуляризацией в полигональных областях». Математические модели и методы в прикладных науках 15 (04), стр. 575–622, 2005.

[1] Сабо, Б.А. и Мехта, А.К., «p-сходящиеся аппроксимации конечных элементов в механике разрушения». Международный журнал численных методов в технике 12, стр. 551–560, 1978.

[2] Бабушка И., Сабо Б.А. и Кац И.Н., «Р-версия метода конечных элементов». Журнал SIAM по численному анализу 18, стр. 515–545, 1981.

[3] Бабушка И. и Сабо Б.А., «О скорости сходимости метода конечных элементов». Международный журнал численных методов в технике 18, стр. 323–341, 1982.

[4] Сабо, Б.А., «Разработка сетки для p-версии метода конечных элементов». Компьютерные методы в прикладной механике и технике 55 (1), стр. 181–197, 1986.

[5] Го, Б. и Бабушка, И. «HP-версия метода конечных элементов. Часть 1. Основные результаты аппроксимации». Вычислительная механика 55, стр. 21–41, 1986.

[6] Костабель М., Дауге М. и Шваб К., «Экспоненциальная сходимость hp-FEM для уравнений Максвелла с взвешенной регуляризацией в полигональных областях». Математические модели и методы в прикладных науках 15 (04), стр. 575–622, 2005.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]