Местная униформизация

В алгебраической геометрии локальная униформизация — это слабая форма разрешения особенностей , утверждающая, что многообразие может быть десингуляризовано вблизи любого нормирования, или, другими словами, пространство Зарисского-Римана массива в некотором смысле неособо. Локальная униформизация была введена Зариским ( 1939 , 1940 ), который разделил проблему разрешения особенностей многообразия на проблему локальной униформизации и проблему объединения локальных униформизаций в глобальную десингуляризацию.

Локальная униформизация многообразия при нормировании его функционального поля означает нахождение проективной модели многообразия такой, что центр нормирования невырожден. Оно слабее, чем разрешение особенностей: если существует разрешение особенностей, то это модель, в которой центр каждого нормирования неособен. Зариский (1944b) доказал, что если можно показать локальную униформизацию многообразия, то можно найти конечное число моделей, у которых каждое нормирование имеет неособый центр хотя бы на одной из этих моделей. Тогда для завершения доказательства разрешения особенностей достаточно показать, что можно объединить эти конечные модели в одну, но это кажется довольно трудным. (Локальная униформизация при оценке не подразумевает непосредственно разрешение в центре оценки: грубо говоря; она подразумевает только разрешение в своего рода «клине» вблизи этой точки, и кажется трудным объединить разрешения различных клиньев в разрешение в какой-то момент.)

Зарисский (1940) доказал локальную униформизацию многообразий в любой размерности над полями характеристики 0 и использовал это для доказательства разрешения особенностей многообразий в характеристике 0 размерности не более 3. Локальная униформизация в положительной характеристике кажется гораздо сложнее. Абхьянкар ( 1956 , 1966 ) доказал локальную униформизацию по всем характеристикам для поверхностей и по характеристикам не менее 7 для трехмерных многообразий и смог вывести из этого глобальное разрешение особенностей в этих случаях. Каткоски (2009) упростил длинное доказательство Абхьянкара. Коссарт и Пилтант ( 2008 , 2009 ) распространили доказательство Абхьянкара локальной униформизации трехмерных многообразий на оставшиеся характеристики 2, 3 и 5. Темкин (2013) показал, что можно найти локальную униформизацию любой оценки, взяв чисто неотделимое расширение функционального поля.

Локальная униформизация положительной характеристики для многообразий размерности не менее 4 (по состоянию на 2019 год) является открытой проблемой.

Ссылки

• Абхьянкар, Шрирам (1956), «Локальная униформизация на алгебраических поверхностях над основными полями характеристики p ≠0», Annals of Mathematics , Second Series, 63 (3): 491–526, doi : 10.2307/1970014 , JSTOR   1970014 , MR   0078017
• Абхьянкар, Шрирам С. (1966), Разрешение особенностей вложенных алгебраических поверхностей , Монографии Спрингера по математике, Акад. Пресса, doi : 10.1007/978-3-662-03580-1 , ISBN.  3-540-63719-2 (1998 г., 2-е издание)
• Коссар, Винсент; Пилтант, Оливье (2008), «Разрешение особенностей трехмерных многообразий с положительной характеристикой. I. Сведение к локальной униформизации на Артине – Шрайере и чисто неразделимых покрытиях» , Journal of Algebra , 320 (3): 1051–1082, doi : 10.1016/ j.jalgebra.2008.03.032 , МР   2427629
• Коссар, Винсент; Пилтант, Оливье (2009), «Разрешение особенностей тройных многообразий в положительной характеристике. II» (PDF) , Journal of Algebra , 321 (7): 1836–1976, doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.11.030 , MR   2494751
• Каткоски, Стивен Дейл (2009), «Разрешение особенностей трехмерных многообразий в положительной характеристике», Amer. Дж. Математика. , 131 (1): 59–127, arXiv : math/0606530 , doi : 10.1353/ajm.0.0036 , JSTOR   40068184 , MR   2488485 , S2CID   2139305
• Темкин, Майкл (2013), «Неотделимая локальная униформизация», J. Algebra , 373 : 65–119, arXiv : 0804.1554 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2012.09.023 , MR   2995017 , S2CID   115167009
• Зариский, Оскар (1939), «Уменьшение особенностей алгебраической поверхности», Ann. математики. , 2, 40 (3): 639–689, номер документа : 10.2307/1968949 , JSTOR   1968949.
• Зариски, Оскар (1940), «Локальная униформизация алгебраических многообразий», Ann. математики. , 2, 41 (4): 852–896, doi : 10.2307/1968864 , JSTOR   1968864 , MR   0002864.
• Зариски, Оскар (1944a), «Компактность риманова многообразия абстрактного поля алгебраических функций», Бюллетень Американского математического общества , 50 (10): 683–691, doi : 10.1090/S0002-9904-1944-08206 -2 , ISSN   0002-9904 , МР   0011573
• Зариски, Оскар (1944b), «Редукция особенностей алгебраических трехмерных многообразий», Ann. математики. , 2, 45 (3): 472–542, номер документа : 10.2307/1969189 , JSTOR   1969189 , MR   0011006.

Внешние ссылки

• «Локальная униформизация» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]