Обучение ДеГрута

Обучение ДеГрута относится к процессу социального обучения, основанному на практических правилах. В общей форме эту идею высказал американский статистик Моррис Х. ДеГрут ; антецеденты были сформулированы Джоном Р.П. Френчем и Фрэнк Харари. Модель использовалась в физике , информатике и наиболее широко в теории социальных сетей .

Настройка и процесс обучения

Возьмем общество $n$ агенты, где у каждого есть мнение по предмету, представленное вектором вероятностей $p(0)=(p_{1}(0),\dots ,p_{n}(0))$. Агенты не получают новой информации, на основе которой они могли бы обновить свое мнение, но они общаются с другими агентами. Связи между агентами (кто знает кем) и вес, который они придают мнению друг друга, представлены матрицей доверия. $T$ где $T_{ij}$ вес этого агента $i$ надевает агента $j$мнение. Таким образом, матрица доверия находится во взаимно однозначном отношении со взвешенным , ориентированным графом где есть ребро между $i$ и $j$ тогда и только тогда, когда $T_{ij}>0$. Матрица доверия является стохастической , ее строки состоят из неотрицательных действительных чисел, сумма каждой строки равна 1.

Формально убеждения обновляются в каждый период по мере

$p(t)=Tp(t-1)$

так что $t$ Мнения за период связаны с первоначальными мнениями посредством

$p(t)=T^{t}p(0)$

Сближение убеждений и консенсуса

Важный вопрос заключается в том, сходятся ли убеждения к определенному пределу и друг к другу в долгосрочной перспективе. Поскольку матрица доверия является стохастической , стандартные результаты теории цепей Маркова могут быть использованы для определения условий, при которых предел

$p(\infty )=\lim _{t\to \infty }p(t)=\lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)$

существует для любых начальных убеждений $p(0)\in [0,1]^{n}$. Следующие случаи лечатся в Голубе и Джексоне (2010).

Сильно связанный случай

Если граф социальной сети (представленный матрицей доверия) сильно связан , сходимость убеждений эквивалентна каждому из следующих свойств:

• график, представленный $T$ является апериодическим
• существует единственный левый собственный вектор $s$ из $T$ соответствующее собственному значению 1, сумма элементов которого равна 1, так что для каждого $p\in [0,1]^{n}$, $\left(\lim _{t\to \infty }T^{t}p\right)_{i}=s\cdot p$ для каждого $i\in \{1,\dots ,n\}$ где $\cdot$ обозначает скалярное произведение .

Эквивалентность последних двух является прямым следствием теоремы Перрона-Фробениуса .

Общий случай

не обязательно иметь прочную Однако для того, чтобы иметь сходные убеждения, социальную сеть.равенство ограничивающих убеждений вообще не имеет места.

Мы говорим, что группа агентов $C\subseteq \{1,\dots ,n\}$ закрывается , если для любого $i\in C$, $T_{ij}>0$ только если $j\in C$ . Убеждения сходятся тогда и только тогда, когда каждое множество узлов (представляющих индивидуумов), которое сильно связано и замкнуто, также является апериодическим .

Консенсус

Группа $C$ Говорят, что люди достигают консенсуса, если $p_{i}(\infty )=p_{j}(\infty )$ для любого $i,j\in C$. Это означает, что в результате процесса обучения у них в пределе возникают одинаковые убеждения по данному предмету.

Благодаря сильно связанной и апериодической сети вся группа достигает консенсуса.Вообще любая сильно связная и замкнутая группа $C$ индивидов достигают консенсуса по каждому начальному вектору убеждений тогда и только тогда, когда он апериодичен. Если, например, есть две группы, удовлетворяющие этим предположениям, они достигают консенсуса внутри групп, но не обязательно консенсус на уровне общества.

Социальное влияние

Возьмем сильно связанную и апериодическую социальную сеть. В этом случае общее ограничивающее убеждение определяется исходными убеждениями посредством

$p(\infty )=s\cdot p(0)$

где $s$ - уникальный левый собственный вектор единичной длины $T$ соответствующий собственному значению 1. Вектор $s$ показывает вес, который агенты придают первоначальным убеждениям друг друга в пределе консенсуса. Таким образом, чем выше $s_{i}$, тем больше влияние индивидуального $i$ придерживается консенсусного убеждения.

Свойство собственного вектора $s=sT$ подразумевает, что

$s_{i}=\sum _{j=1}^{n}T_{ji}s_{j}$

Это означает, что влияние $i$ представляет собой средневзвешенное значение влияния этих агентов $s_{j}$ кто обращает внимание на $i$, с весами их уровня доверия. Следовательно, для влиятельных агентов характерно доверие со стороны других лиц с высоким влиянием.

Примеры

Эти примеры появляются в Джексоне (2008).

Сближение убеждений

Общество с конвергентными убеждениями

Рассмотрим общество из трех индивидов со следующей матрицей доверия:

$T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\0&1&0\\\end{pmatrix}}$

Следовательно, первый человек одинаково взвешивает убеждения двух других, в то время как второй слушает только первого, третий — только второго человека.Для этой структуры социального доверия предел существует и равен

$\lim _{t\to \infty }T^{t}p(0)=\left(\lim _{t\to \infty }T^{t}\right)p(0)={\begin{pmatrix}2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\2/5&2/5&1/5\\\end{pmatrix}}p(0)$

поэтому вектор влияния равен $s=\left(2/5,2/5,1/5\right)$ и консенсусное убеждение $2/5p_{1}(0)+2/5p_{2}(0)+1/5p_{3}(0)$. На словах, независимо от первоначальных убеждений, люди достигают консенсуса, при котором первоначальное убеждение первого и второго имеет в два раза большее значение.большее влияние, чем у третьего.

Неконвергентные убеждения

Общество с неконвергентными убеждениями

Если мы изменим предыдущий пример так, что третий человек тоже будет слушать исключительно первогово-первых, у нас есть следующая матрица доверия:

$T={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}$

В этом случае для любого $k\geq 1$ у нас есть

$T^{2k-1}={\begin{pmatrix}0&1/2&1/2\\1&0&0\\1&0&0\\\end{pmatrix}}$

и

$T^{2k}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1/2&1/2\\0&1/2&1/2\\\end{pmatrix}}$

так $\lim _{t\to \infty }T^{t}$ не существует и убеждения не сходятся в пределе. Интуитивно, 1 обновляется на основе убеждений 2 и 3, в то время как2 и 3 обновляются исключительно на основе убеждений 1, поэтому они меняют свои убеждения в каждом периоде.

Асимптотические свойства в больших обществах: мудрость

Результаты процесса обучения ДеГрута можно изучить в больших обществах.то есть в $n\to \infty$ предел.

Пусть предметом, по которому люди имеют мнения, будет «истинное состояние». $\mu \in [0,1]$. Предположим, что индивидыиметь независимые шумовые сигналы $p_{i}^{(0)}(n)$ из $\mu$(теперь верхний индекс относится к времени, аргумент к размеру общества).Предположим, что для всех $n$ матрица доверия $T(n)$ такова, что ограничивающие убеждения $p_{i}^{(\infty )}(n)$ существует независимо от первоначальных убеждений. Тогда последовательность обществ $\left(T(n)\right)_{n=1}^{\infty }$ называется мудрым , если

$\max _{i\leq n}|p_{i}^{(\infty )}-\mu |{\xrightarrow {\ p\ }}0$

где ${\xrightarrow {\ p\ }}$ обозначает сходимость по вероятности .Это означает, что если общество будет неограниченно расти, со временем у них появится общая и точная информация. вера в неопределенный предмет.

Необходимое и достаточное условие мудрости можно задать с помощью векторов влияния . Последовательность обществ разумна тогда и только тогда, когдаесли

$\lim _{n\to \infty }\max _{i\leq n}s_{i}(n)=0$

то есть общество мудро именно тогда, когда влияние даже самого влиятельного человека исчезает в предел большого общества. Для дальнейшей характеристики и примеров см. Голуб и Джексон. (2010).