Поединичная система

В области анализа энергетических систем в электротехнике система на единицу измерения представляет собой выражение величин системы в виде долей определенной базовой единицы количества. Расчеты упрощаются, поскольку количества, выраженные в единицах измерения, не изменяются, когда они передаются от одной стороны трансформатора к другой. Это может быть явным преимуществом при анализе энергосистемы, где может встретиться большое количество трансформаторов. Более того, аналогичные типы устройств будут иметь импедансы, лежащие в узком числовом диапазоне, если выражать их в единицах номинальной мощности оборудования, даже если размеры устройства сильно различаются. Преобразование величин на единицу в вольты, омы или амперы требует знания базы, к которой относятся величины на единицу. Поблочная система используется при расчете потоков мощности , оценке короткого замыкания , запуска двигателей исследованиях и т. д.

Основная идея поединичной системы состоит в том, чтобы объединить большие различия в абсолютных значениях в базовые отношения. Таким образом, представления элементов системы с удельными значениями становятся более единообразными.

Единичная система обеспечивает единицы мощности , напряжения , тока , импеданса и адмиттанса . За исключением импеданса и адмиттанса, любые две единицы измерения независимы и могут быть выбраны в качестве базовых значений; Обычно выбираются мощность и напряжение. Все количества указываются как кратные выбранным базовым значениям. Например, базовая мощность может быть номинальной мощностью трансформатора или , возможно, произвольно выбранной мощностью, которая делает количество мощности в системе более удобным. Базовое напряжение может быть номинальным напряжением шины . Различные типы величин обозначаются одним и тем же символом ( pu ); должно быть ясно, является ли эта величина напряжением, током или другой единицей измерения.

Цель

Существует несколько причин для использования поединичной системы:

Аналогичное оборудование (генераторы, трансформаторы, линии) будет иметь одинаковые удельные импедансы и потери, выраженные в их собственных номиналах, независимо от их абсолютного размера. Благодаря этому данные по единицам можно быстро проверить на наличие грубых ошибок. Значение за единицу, выходящее за пределы нормального диапазона, стоит обратить внимание на возможные ошибки.
Производители обычно указывают полное сопротивление устройств в единицах измерения.
Использование константы $\textstyle {\sqrt {3}}$ уменьшается в трехфазных расчетах.
Количества на единицу одинаковы на обеих сторонах трансформатора, независимо от уровня напряжения.
Приведение величин к общей базе упрощает как ручные, так и автоматические расчеты.
Это повышает численную стабильность методов автоматического расчета.
Представление данных на единицу дает важную информацию об относительных величинах.

Поблочная система была разработана для облегчения ручного анализа энергосистем. Хотя анализ энергосистемы сейчас выполняется с помощью компьютера, результаты часто выражаются в виде удельных значений на удобной общесистемной основе.

Базовые количества

Обычно выбираются базовые значения мощности и напряжения. Базовая мощность может быть номинальной мощностью отдельного устройства, такого как двигатель или генератор. Если система изучается, базовая мощность обычно выбирается в виде удобного круглого числа, например 10 МВА или 100 МВА. Базовое напряжение выбирается в качестве номинального номинального напряжения системы. Все остальные основные величины являются производными от этих двух основных величин. После выбора базовой мощности и базового напряжения ток базы и полное сопротивление базы определяются естественными законами электрических цепей. Базовое значение должно быть только величиной, а значение на единицу — вектором. Фазовые углы комплексной мощности, напряжения, тока, импеданса и т. д. не зависят от преобразования в единичные значения.

Целью использования поблочной системы является упрощение преобразования между различными трансформаторами. Следовательно, уместно проиллюстрировать шаги по нахождению удельных значений напряжения и импеданса. Во-первых, пусть базовая мощность ( S _base ) каждого конца трансформатора станет одинаковой. Как только каждый S установлен на одной и той же базе, можно легко получить базовое напряжение и базовое сопротивление для каждого трансформатора. Затем реальные числа импедансов и напряжений можно подставить в определение расчета на единицу, чтобы получить ответы для системы на единицу. Если известны значения на единицу продукции, реальные значения можно получить путем умножения на базовые значения.

По соглашению для базовых количеств приняты следующие два правила:

Базовое значение мощности одинаково для всей рассматриваемой энергосистемы.
Соотношение баз напряжений по обе стороны трансформатора выбирается таким же, как соотношение номинальных напряжений трансформаторов.

Согласно этим двум правилам, удельное сопротивление остается неизменным при отнесении от одной стороны трансформатора к другой. Это позволяет исключить идеальный трансформатор из модели трансформатора.

Отношения между подразделениями

Отношения между агрегатами в поблочной системе зависят от того, является ли система однофазной или трехфазной .

Однофазный

Предполагая, что независимыми базовыми значениями являются мощность и напряжение, мы имеем:

P_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

V_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

Альтернативно, базовое значение мощности может быть задано в терминах реактивной или полной мощности , и в этом случае мы имеем соответственно:

Q_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

или

S_{\text{base}}=1{\text{ pu}}

Остальные единицы можно получить из мощности и напряжения, используя уравнения $S=IV$ , $P=S\cos(\phi )$ , $Q=S\sin(\phi )$ и ${\underline {V}}={\underline {I}}{\underline {Z}}$ ( закон Ома ), $Z$ будучи представленным ${\underline {Z}}=R+jX=Z\cos(\phi )+jZ\sin(\phi )$ . У нас есть:

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{I_{\text{base}}V_{\text{base}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Y_{\text{base}}={\frac {1}{Z_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Трехфазный

Мощность и напряжение задаются так же, как и в однофазных системах. Однако из-за различий в том, что эти термины обычно обозначают в трехфазных системах, отношения для производных единиц различны. В частности, мощность указывается как общая (не пофазная) мощность, а напряжение — это линейное напряжение.В трехфазных системах уравнения $P=S\cos(\phi )$ и $Q=S\sin(\phi )$ тоже держи. Кажущаяся мощность $S$ теперь равно $S_{\text{base}}={\sqrt {3}}V_{\text{base}}I_{\text{base}}$

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}=1{\text{ pu}}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Y_{\text{base}}={\frac {1}{Z_{\text{base}}}}=1{\text{ pu}}

Пример за единицу

В качестве примера поблочного использования рассмотрим трехфазную систему передачи электроэнергии, которая имеет мощность порядка 500 МВт и использует для передачи номинальное напряжение 138 кВ. Мы произвольно выбираем $S_{\mathrm {base} }=500\,\mathrm {MVA}$ , а в качестве базового напряжения используйте номинальное напряжение 138 кВ. $V_{\mathrm {base} }$ . Тогда у нас есть:

I_{\text{base}}={\frac {S_{\text{base}}}{V_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}=2.09\,\mathrm {kA}

Z_{\text{base}}={\frac {V_{\text{base}}}{I_{\text{base}}\times {\sqrt {3}}}}={\frac {V_{\text{base}}^{2}}{S_{\text{base}}}}=38.1\,\Omega

Y_{\mathrm {base} }={\frac {1}{Z_{\mathrm {base} }}}=26.3\,\mathrm {mS}

Если, например, измеренное фактическое напряжение на одной из шин составляет 136 кВ, мы имеем:

V_{\mathrm {pu} }={\frac {V}{V_{\mathrm {base} }}}={\frac {136\,\mathrm {kV} }{138\,\mathrm {kV} }}=0.9855\,\mathrm {pu}

Формулы поединичной системы

Следующая таблица системных формул на единицу энергии адаптирована из Справочника по промышленным энергосистемам Бимана .

Уравнение
Выбор базового номера
	Произвольный выбор из закона Ома двух базовых чисел: базового напряжения и базового тока.
1	${\text{We have, Z}}={\frac {E}{I}}$
2	${\text{Base ohms}}={\frac {\text{base volts}}{\text{base amperes}}}$
3	${\text{Per-unit volts}}={\frac {\text{volts}}{\text{base volts}}}$
4	${\text{Per-unit amperes}}={\frac {\text{amperes}}{\text{base amperes}}}$
5	${\text{Per-unit ohms}}={\frac {\text{ohms}}{\text{base ohms}}}$
	В качестве альтернативы, выбрав базовые напряжения и базовые значения кВА, мы имеем:
	в однофазных системах:
6	${\text{Base amperes }}={\frac {{\text{base kva}}\cdot 1000}{\text{base volts}}}$
7	${\text{Base amperes }}={\frac {\text{base kva}}{{\text{base kv}}_{L-L}}}$
8	${\text{Base ohms }}={\frac {\text{base volts}}{\text{base amperes}}}$
	и в трехфазных системах:
9	${\text{Base amperes }}={\frac {{\text{base kva}}\cdot 1000}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{base volts}}}}$
10	${\text{Base amperes }}={\frac {\text{base kva}}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{base kv}}_{L-L}}}$
11	${\text{Base ohms }}={\frac {\text{base volts}}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{base amperes}}}}$
	Для удобства вычисляя непосредственно на единицу Ома, имеем
	для однофазных и трехфазных систем:
12	${\text{Base ohms }}={\frac {{\text{ohms}}\cdot {\text{base kva}}}{kv_{L-L}^{2}\cdot 1000}}$
Формулы расчета короткого замыкания
	Преобразования Ом:
13	${\text{Per-unit ohms reactance}}={\frac {{\text{ohms reactance}}\cdot {\text{kva base}}}{kv_{L-L}^{2}\cdot 1000}}$
14	${\text{Ohms reactance}}={\frac {\%{\text{ reactance}}\cdot kv_{L-L}^{2}\cdot 1000}{\text{kva base}}}$
15	${\text{Per-unit ohms reactance}}={\frac {\text{per cent ohms reactance}}{100}}$
	Изменение сопротивления с одной базы ква на другую:
16	$\%{\text{ ohms reactance on kva base}}_{2}={\frac {{\text{kva base}}_{2}}{{\text{kva base}}_{1}}}\cdot \%{\text{ ohms reactance on base}}_{1}$
17	${\text{0/1 ohms reactance on kva base}}_{2}={\frac {{\text{kva base}}_{2}}{{\text{kva base}}_{1}}}\cdot 0/1{\text{ ohms reactance on base}}_{1}$
	Изменение входного реактивного сопротивления системы:
	а. Если реактивное сопротивление системы указано в процентах, используйте формулу. 16 для перехода с одной базы ква на другую.
	б. Если реактивное сопротивление системы указано в среднеквадратичных значениях ква или тока короткого замыкания, преобразуйте его в единицу следующим образом:
18	${\text{0/1 reactance}}={\frac {\text{kva base used in reactance in studied calculation}}{\text{system short-circuit kva}}}$
19	${\text{0/1 reactance}}={\frac {\text{kva base used in reactance in studied calculation}}{{\text{system short-circuit current}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\text{system kv}}_{L-L}}}$
	Расчет приблизительной мощности двигателя:
	а. Для асинхронных двигателей и синхронных двигателей с коэффициентом мощности 0,8.
20	${\text{kva base}}\approx {\text{ horsepower rating}}$
	б. Для синхронных двигателей с единичным коэффициентом мощности
21	${\text{kva base}}0.8\cdot \approx {\text{horsepower rating}}$
	Преобразование Ом из одного напряжения в другое:
22	${\text{Ohms on basis of voltage}}_{1}=\left({\frac {{\text{voltage}}_{1}}{{\text{voltage}}_{2}}}\right)^{2}\cdot {\text{ohms on basis of voltage}}_{2}$
	Ква короткого замыкания и расчеты тока
	Симметричное короткое замыкание кВА:
23	$=100\cdot {\frac {\text{kva base}}{\%{\text{ X}}}}$
24	$={\frac {\text{kva base}}{\text{0/1 X}}}$
25	$=3\cdot {\frac {{\text{Voltage}}_{L-N}^{2}}{{\text{ohms reactance}}\cdot 1000}}$
26	$={\frac {{\text{kv}}_{L-L}^{2}\cdot 1000}{\text{ohms reactance}}}$
	Симметричный ток короткого замыкания:
27	$=100\cdot {\frac {\text{kva base}}{\%{\text{ X}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\text{kv}}_{L-L}}}$
28	$={\frac {\text{kva base}}{{\text{0/1 X}}\cdot {\sqrt {3}}\cdot {\text{kv}}_{L-L}}}$
29	$={\frac {{\text{kv}}_{L-L}\cdot 1000}{{\sqrt {3}}\cdot {\text{ohms reactance}}}}$
	Асимметричный ток короткого замыкания и ква:
30	${\text{Asymmetrical short-circuit current = symmetrical current}}\cdot {\text{X/R factor}}$
31	${\text{Asymmetrical short-circuit kva = symmetrical kva}}\cdot {\text{X/R factor}}$

В трансформаторах

Можно показать, что напряжения, токи и импедансы в единичной системе будут иметь одинаковые значения независимо от того, относятся ли они к первичной или вторичной обмотке трансформатора . ^[1]^: 85

Например, для напряжения мы можем доказать, что единичные напряжения двух сторон трансформатора, стороны 1 и стороны 2, одинаковы. Здесь единичные напряжения двух сторон равны E _1pu и E _2pu соответственно.

{\begin{aligned}E_{\text{1,pu}}&={\frac {E_{1}}{V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}V_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{1}E_{2}}{N_{2}{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {E_{2}}{V_{\text{base2}}}}\\&=E_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}

(источник: лекции Александры фон Мейер по энергетическим системам, Калифорнийский университет в Беркли)

Е ₁ и Е ₂ — напряжения сторон 1 и 2 в вольтах. N ₁ — количество витков катушки на стороне 1. N ₂ — количество витков катушки на стороне 2. V _base1 и V _base2 — это базовые напряжения на сторонах 1 и 2.

V_{\text{base1}}={\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}

Что касается тока, мы можем доказать, что единичные токи обеих сторон одинаковы ниже.

{\begin{aligned}I_{\text{1,pu}}&={\frac {I_{1}}{I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}I_{\text{base1}}}}\\&={\frac {N_{2}I_{2}}{N_{1}{\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{base2}}}\\&={\frac {I_{2}}{I_{\text{base2}}}}\\&=I_{\text{2,pu}}\\\end{aligned}}

(источник: лекции Александры фон Мейер по энергетическим системам, Калифорнийский университет в Беркли)

где I _1,pu и I _2,pu — единичные токи сторон 1 и 2 соответственно. При этом токи базы I _base1 и I _base2 связаны противоположным образом, чем V _base1 и V _base2 , т.е.

{\begin{aligned}I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base1}}}{V_{\text{base1}}}}\\S_{\text{base1}}&=S_{\text{base2}}\\V_{\text{base2}}&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}V_{\text{base1}}\\I_{\text{base2}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{V_{\text{base2}}}}\\I_{\text{base1}}&={\frac {S_{\text{base2}}}{{\frac {N_{1}}{N_{2}}}V_{\text{base2}}}}\\&={\frac {N_{2}}{N_{1}}}I_{\text{base2}}\\\end{aligned}}

Причиной этого соотношения является сохранение мощности.

S _{базовое1} = S _{базовое2}

при полной нагрузке Потери в меди трансформатора в поединном виде равны единичному значению его сопротивления:

${\begin{aligned}P_{\text{cu,FL}}&={\text{full-load copper loss}}\\&=I_{R1}^{2}R_{eq1}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}P_{\text{cu,FL,pu}}&={\frac {P_{\text{cu,FL}}}{P_{\text{base}}}}\\&={\frac {I_{R1}^{2}R_{eq1}}{V_{R1}I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{V_{R1}/I_{R1}}}\\&={\frac {R_{\text{eq1}}}{Z_{B1}}}\\&=R_{\text{eq1,pu}}\\\end{aligned}}$

Поэтому может оказаться более полезным выразить сопротивление в единице измерения, поскольку оно также представляет потери в меди при полной нагрузке. ^[1]^: 86

Как указано выше, в рамках поблочной системы существуют две степени свободы, которые позволяют инженеру указать любую поблочную систему. Степени свободы — это выбор базового напряжения ( V _base ) и базовой мощности ( S _base ). По соглашению для обеих сторон трансформатора выбирается одна базовая мощность ( S _base ), и ее значение равно номинальной мощности трансформатора. По соглашению, на самом деле выбираются два разных базовых напряжения: V _base1 и V _base2 , которые равны номинальным напряжениям для каждой стороны трансформатора. Выбрав таким образом основные величины, трансформатор можно эффективно удалить из схемы, как описано выше. Например:

Возьмем трансформатор мощностью 10 кВА и напряжением 240/100 В. Импеданс вторичной обмотки равен 1∠0° Ом. Базовое сопротивление на вторичной стороне равно:

${\begin{aligned}Z_{\text{base,2}}&={\frac {V_{\text{base,2}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(100{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{1 }}\Omega \\\end{aligned}}$

Это означает, что удельное сопротивление на вторичной стороне составляет 1∠0° Ом / 1 Ом = 1∠0° о.е. Когда это сопротивление переносится на другую сторону, сопротивление становится:

${\begin{aligned}Z_{2}&=\left({\frac {240}{100}}\right)^{2}\times {\text{1∠0° }}\Omega \\&={\text{5.76∠0° }}\Omega \\\end{aligned}}$

Базовое сопротивление для первичной стороны рассчитывается так же, как и для вторичной:

${\begin{aligned}Z_{\text{base,1}}&={\frac {V_{\text{base,1}}^{2}}{S_{\text{base}}}}\\&={\frac {(240{\text{ V}})^{2}}{10000{\text{ VA}}}}\\&={\text{5.76 }}\Omega \\\end{aligned}}$

Это означает, что импеданс на единицу составляет 5,76∠0° Ом / 5,76 Ом = 1∠0° о.е., что, как и следовало ожидать, такое же, как и при расчете с другой стороны трансформатора.

Еще одним полезным инструментом для анализа трансформаторов является наличие формулы изменения базы, которая позволяет инженеру переходить от базового импеданса с одним набором базового напряжения и базовой мощности к другому базовому импедансу для другого набора базового напряжения и базовой мощности. Это становится особенно полезным в реальных приложениях, где трансформатор с напряжением вторичной обмотки 1,2 кВ может быть подключен к первичной обмотке другого трансформатора с номинальным напряжением 1 кВ. Формула такая, как показано ниже.

${\begin{aligned}Z_{\text{pu,new}}&=Z_{\text{pu,old}}\times {\frac {Z_{\text{base,old}}}{Z_{\text{base,new}}}}=Z_{\text{pu,old}}\times \left({\frac {V_{\text{base,old}}}{V_{\text{base,new}}}}\right)^{2}\times \left({\frac {S_{\text{base,new}}}{S_{\text{base,old}}}}\right)\\\end{aligned}}$

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Сен, ПК (1997). Принципы электрических машин и силовой электроники . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-02295-4 .

Биман, Дональд (1955). «Процедуры расчета токов короткого замыкания» . В Биман, Дональд (ред.). Справочник по промышленным энергосистемам . МакГроу-Хилл. стр. см. особ. 38–41, 52–55. ISBN 9780070043015 .
Элгерд, Олле И. (2007). «§2.5 Единичное представление импедансов, токов, напряжений и мощностей» . Теория электроэнергетических систем: Введение (1971, 1-е изд.). Тата МакГроу-Хилл. стр. 35–39. ISBN 978-0070192300 .
Юэнь, Мун Х. (март – апрель 1974 г.). «Азбука короткого замыкания: выучите ее за час, используйте где угодно, не запоминайте никаких формул». Транзакции IEEE для промышленных приложений . ИА-10 (2): 261–272. дои : 10.1109/TIA.1974.349143 .
Уильям Д. младший, Стивенсон (1975). Элементы анализа энергосистемы (3-е изд.). Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-061285-4 .
Види, Б.М. (1972). Электроэнергетические системы (2-е изд.). Лондон; Торонто: Дж. Уайли. ISBN 0-471-92445-8 .
Гловер, Дж. Дункан; Сарма, Мулукутла; Прощай, Томас Дж. (2011). Анализ и проектирование энергетических систем . Cengage Обучение. стр. 108–116. ISBN 978-1111425777 .

[Sen_1997-1] Jump up to: ^а ^б Сен, ПК (1997). Принципы электрических машин и силовой электроники . Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья . ISBN 978-0-471-02295-4 .

[1]