Нестандартная конечно-разностная схема

Нестандартные конечно-разностные схемы — это общий набор методов численного анализа , который дает численные решения дифференциальных уравнений путем построения дискретной модели. Общие правила для таких схем точно неизвестны.

Обзор

Конечно-разностная (FD) модель дифференциального уравнения (DE) может быть сформирована путем простой замены производных приближениями FD. Но это наивный «перевод». Еслимы буквально переводим с английского на японский, устанавливая между словами взаимно однозначное соответствие, исходный смысл часто теряется. Точно так же наивная FD-модель DE может сильно отличаться от исходной DE, поскольку модель FD представляет собой разностное уравнение с решениями, которые могут сильно отличаться от решений DE. Более техническое определение см. в Mickens 2000.

Нестандартная (НС) конечно-разностная модель представляет собой свободный и более точный «перевод» дифференциального уравнения. Например, параметр (назовем его v ) в DE может принимать другое значение u в модели NS-FD.

Пример

В качестве примера смоделируем волновое уравнение:

$(\partial _{t}^{2}-v^{2}\partial _{x}^{2})\Psi (x,t)=0.$

Наивная конечно-разностная модель, которую мы теперь называем стандартной (S) моделью FD, находится путем аппроксимации производных с помощью FD-аппроксимаций. Центральное ФД-приближение второго порядка первой производной:

$f'(x)\approx {\frac {f(x+\Delta x/2)-f(x-\Delta x/2)}{\Delta x}}.$

Применяя приведенное выше приближение ФД к $f'(x)$, мы можем получить приближение FD для $f''(x)$,

$f''(x)\approx {\frac {{\text{d}}_{x}^{2}f(x)}{\Delta x^{2}}},$

где мы ввели ярлык ${\text{d}}_{x}f(x)=f(x+\Delta x/2)-f(x-\Delta x/2)$ для простоты такой, что ${\text{d}}_{x}{}^{2}f(x)=f(x+\Delta x)+f(x-\Delta x)-2f(x)$ что можно проверить, применив ${\text{d}}_{x}$ на $f(x)$ дважды. Аппроксимация обеих производных в волновом уравнении приводит к модели S-FD:

$\left[{\text{d}}_{t}^{2}-(v\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\Psi (x,t)=0.$

Если вы вставите решение $\phi (x,t)=e^{i(kx-\omega t)}$ волнового уравнения (с $\omega /k=v$)в модель S-FD вы обнаружите, что

$\left[{\text{d}}_{t}^{2}-(v\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\phi (x,t)=\epsilon .$

В общем $\epsilon \neq 0$ потому что решение FD-приближения волнового уравнения не совпадает с самим волновым уравнением.

Чтобы построить модель NS-FD, которая имеет то же решение, что и волновое уравнение, поместите свободный параметр, назовите его u вместо $v\Delta t/\Delta x$ и попытайтесь найти значение u, которое делает $\epsilon =0$.Оказывается, это u значение

$u={\frac {\sin(\omega \Delta t/2)}{\sin(k\Delta x/2)}}.$

Таким образом, точная нестандартная конечно-разностная модель волнового уравнения имеет вид

$\left[{\text{d}}_{t}^{2}-(u\Delta t/\Delta x)^{2}{\text{d}}_{x}^{2}\right]\Psi (x,t)=0.$

Более подробную информацию и расширения двух и трехмерных измерений, а также уравнений Максвелла можно найти в Cole 2002.