Неравномерная выборка

Неравномерная выборка — это раздел теории выборки, включающий результаты, связанные с теоремой выборки Найквиста-Шеннона . Неравномерная выборка основана на интерполяции Лагранжа и взаимосвязи между ней и теоремой (равномерной) выборки. Неравномерная выборка является обобщением теоремы выборки Уиттекера-Шеннона-Котельникова (WSK).

Теорию выборки Шеннона можно обобщить на случай неоднородных выборок, то есть выборок, взятых не через равные промежутки времени. Теория выборки Шеннона для неравномерной выборки утверждает, что сигнал с ограниченной полосой частот может быть идеально восстановлен по его выборкам, если средняя частота дискретизации удовлетворяет условию Найквиста. Следовательно, хотя равномерно расположенные выборки могут привести к упрощению алгоритмов реконструкции, это не является необходимым условием идеальной реконструкции.

Общая теория немодулированных и неоднородных выборок была разработана в 1967 году Генри Ландау . Он доказал, что средняя частота дискретизации (равномерная или нет) должна быть в два раза больше занимаемой полосы пропускания сигнала, предполагая, что априори известно, какая часть спектра была занята. В конце 1990-х годов эта работа была частично расширена, чтобы охватить сигналы, для которых была известна величина занимаемой полосы пропускания, но фактическая занятая часть спектра была неизвестна. В 2000-х годах была разработана полноценная теория (см. раздел «За пределами Найквиста» ниже) с использованием сжатого измерения . В частности, теория с использованием языка обработки сигналов описана в этой статье 2009 года. Они показывают, среди прочего, что если частотные местоположения неизвестны, то необходимо проводить выборку, по крайней мере, в два раза превышающую критерии Найквиста; вы должны заплатить как минимум коэффициент 2 другими словами, за незнание местоположения спектра . Обратите внимание, что минимальные требования к выборке не обязательно гарантируют числовую стабильность .

Лагранжевая (полиномиальная) интерполяция

Для заданной функции можно построить многочлен степени n , который имеет то же значение, что и функция в n + 1 точках.

Пусть n + 1 точек будут $z_{0},z_{1},\ldots ,z_{n}$, а значения n + 1 должны быть $w_{0},w_{1},\ldots ,w_{n}$.

Таким образом, существует единственный полином $p_{n}(z)$ такой, что

$p_{n}(z_{i})=w_{i},{\text{ where }}i=0,1,\ldots ,n.$

Кроме того, можно упростить представление $p_{n}(z)$ используя интерполяционные полиномы интерполяции Лагранжа:

$I_{k}(z)={\frac {(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots (z-z_{n})}{(z_{k}-z_{0})(z_{k}-z_{1})\cdots (z_{k}-z_{k-1})(z_{k}-z_{k+1})\cdots (z_{k}-z_{n})}}$

Из приведенного выше уравнения:

$I_{k}(z_{j})=\delta _{k,j}={\begin{cases}0,&{\text{if }}k\neq j\\1,&{\text{if }}k=j\end{cases}}$

Как результат,

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}I_{k}(z)$

$p_{n}(z_{j})=w_{j},j=0,1,\ldots ,n$

Чтобы сделать полиномиальную форму более полезной:

$G_{n}(z)=(z-z_{0})(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})$

Таким образом, формула интерполяции Лагранжа появляется :

$p_{n}(z)=\sum _{k=0}^{n}w_{k}{\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}$

Обратите внимание, что если $f(z_{j})=p_{n}(z_{j}),j=0,1,\ldots ,n,$, то приведенная выше формула принимает вид:

$f(z)=\sum _{k=0}^{n}f(z_{k}){\frac {G_{n}(z)}{(z-z_{k})G'_{n}(z_{k})}}$

Теорема выборки Уиттакера – Шеннона – Котельникова (WSK)

Уиттакер попытался распространить интерполяцию Лагранжа с полиномов на целые функции . Он показал, что можно построить всю функцию

$C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(a+nW){\frac {\sin[\pi (z-a-nW)/W]}{[\pi (z-a-nW)/W]}}$

который имеет то же значение, что и $f(z)$ в точках $z_{n}=a+nW$

Более того, $C_{f}(z)$ можно записать в форме, аналогичной последнему уравнению из предыдущего раздела:

$C_{f}(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(z_{n}){\frac {G(z)}{G'(z_{n})(z-z_{n})}},{\text{ where }}G(z)=\sin[\pi (z-z_{n})/W]{\text{ and }}z_{n}=a+nW$

Когда a = 0 и W = 1, приведенное выше уравнение становится почти таким же, как теорема WSK:

Если функцию f можно представить в виде

$f(t)=\int _{-\sigma }^{\sigma }e^{jxt}g(x)\,dx\qquad (t\in \mathbb {R} ),\qquad \forall g\in L^{2}(-\sigma ,\sigma ),$

тогда f можно восстановить по его выборкам следующим образом:

$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f\left({\frac {k\pi }{\sigma }}\right){\frac {\sin(\sigma t-k\pi )}{\sigma t-k\pi }}\qquad (t\in \mathbb {R} )$

Неравномерная выборка

Для последовательности $\{t_{k}\}_{k\in \mathbb {Z} }$ удовлетворяющий

$D=\sup _{k\in \mathbb {Z} }|t_{k}-k|<{\frac {1}{4}},$

затем

$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t_{k}){\frac {G(t)}{G'(t_{k})(t-t_{k})}},\qquad \forall {}f\in B_{\pi }^{2},\qquad (t\in \mathbb {R} ),$

где

• $\textstyle G(t)=(t-t_{0})\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {t}{t_{k}}}\right)\left(1-{\frac {t}{t_{-k}}}\right),$
• $B_{\sigma }^{2}$ есть пространство Бернштейна , а
• $f(t)$ равномерно сходится на компактах.

Вышеупомянутое называется теоремой Пэли – Винера – Левинсона, которая обобщает теорему выборки WSK от однородных выборок к неоднородным выборкам. Оба они могут восстановить сигнал с ограниченной полосой пропускания по этим выборкам соответственно.

Ссылки

• Марвасти Ф. «Неравномерная выборка: теория и практика». Plenum Publishers Co., 2001, стр. 123–140.