Хрушовское строительство

В теории моделей , разделе математической логики , конструкция Грушовского обобщает предел Фрэссе , работая с понятием сильной подструктуры. $\leq$ скорее, чем $\subseteq$ . Его можно рассматривать как своего рода «теоретико-модельное принуждение», при котором создается (обычно) стабильная структура, называемая родовой или богатой. ^[1] модель. Специфика $\leq$ определяют различные свойства генерика, при этом особый интерес представляют его геометрические свойства. Первоначально он был использован Эхудом Грушовским для создания стабильной структуры с «экзотической» геометрией, тем самым опровергая гипотезу Зильбера.

Три гипотезы [ править ]

Первые применения конструкции Грушовского опровергли две гипотезы и дали отрицательный ответ на третий вопрос. В частности, у нас есть:

Гипотеза Лахлана. Любая конюшня $\aleph _{0}$ -категориальная теория полностью трансцендентальна. ^[2]

Гипотеза Зильбера. Любая несчетно категоричная теория либо локально модулярна, либо интерпретирует алгебраически замкнутое поле. ^[3]

Вопрос Шерлин. Существует ли максимальное (относительно разложений) сильно минимальное множество?

Строительство [ править ]

Пусть L — конечный реляционный язык. Зафиксируем C — класс конечных L -структур, замкнутых относительно изоморфизмов иподструктуры. Мы хотим укрепить понятие подструктуры; позволять $\leq$ быть отношением на парах из C, удовлетворяющим:

$A\leq B$ подразумевает $A\subseteq B.$
$A\subseteq B\subseteq C$ и $A\leq C$ подразумевает $A\leq B$
$\varnothing \leq A$ для всех $A\in \mathbf {C} .$
$A\leq B$ подразумевает $A\cap C\leq B\cap C$ для всех $C\in \mathbf {C} .$
Если $f\colon A\to A'$ является изоморфизмом и $A\leq B$ , затем $f$ продолжается до изоморфизма $B\to B'$ для какого-то расширенного набора $B$ с $A'\leq B'.$

Определение. Вложение $f:A\hookrightarrow D$ сильный , если $f(A)\leq D.$

Определение. Пара $(\mathbf {C} ,\leq )$ обладает свойством объединения, если $A\leq B_{1},B_{2}$ тогда есть $D\in \mathbf {C}$ так что каждый $B_{i}$ прочно встраивается в $D$ с тем же изображением для $A.$

Определение. Для бесконечности $D$ и $A\in \mathbf {C} ,$ мы говорим $A\leq D$ если только $A\leq X$ для $A\subseteq X\subseteq D,X\in \mathbf {C} .$

Определение. Для любого $A\subseteq D,$ закрытие $A$ в $D,$ обозначается $\operatorname {cl} _{D}(A),$ является наименьшим расширенным набором $A$ удовлетворяющий $\operatorname {cl} (A)\leq D.$

Определение. Счетная структура $G$ является $(\mathbf {C} ,\leq )$ -общий, если:

Для $A\subseteq _{\omega }G,A\in \mathbf {C} .$

Для $A\leq G,$ если $A\leq B$ тогда происходит сильное вложение $B$ в $G$ над $A.$

$G$ имеет конечные замыкания: для каждого $A\subseteq _{\omega }G,\operatorname {cl} _{G}(A)$ конечно.

Теорема. Если $(\mathbf {C} ,\leq )$ обладает свойством объединения, то существует единственное $(\mathbf {C} ,\leq )$ -общий.

Доказательство существования повторяет доказательство существования пределов Фрэссе. Доказательство уникальности основано на простом рассуждении.

Ссылки [ править ]

^ Слайды по конструкции Грушовского от Франка Вагнера.
^ Э. Хрушовский. Конюшня $\aleph _{0}$ -категориальная псевдоплоскость. Препринт, 1988 г.
^ Э. Грушовский. Новый строго минимальный набор. Анналы чистой и прикладной логики , 52:147–166, 1993 г.

[Wagner-1] Слайды по конструкции Грушовского от Франка Вагнера.

[pseudoplane-2] Э. Хрушовский. Конюшня $\aleph _{0}$ -категориальная псевдоплоскость. Препринт, 1988 г.

[sminimal-3] Э. Грушовский. Новый строго минимальный набор. Анналы чистой и прикладной логики , 52:147–166, 1993 г.

[1]

[2]

[3]