Теорема Ченга – Маркса

В теории информации теорема Ченга - Маркса ^{[ 1 ]} назван в честь К. Ф. Ченга и Роберта Дж. Маркса II , уточняет условия ^{[ 2 ]} где восстановление сигнала по теореме выборки может оказаться некорректным . Он предлагает условия, при которых «ошибка реконструкции с неограниченной дисперсией [возникает] при добавлении к выборкам шума с ограниченной дисперсией». ^{[ 3 ]}

Фон

В теореме о выборке неопределенность интерполяции, измеренная по дисперсии шума, такая же, как неопределенность выборочных данных, когда шум равен iid. ^{[ 4 ]} В своей классической статье 1948 года, посвященной теории информации , Клод Шеннон предложил следующее обобщение теоремы выборки: ^{[ 5 ]}

Два номера TW , используемые для определения функции, не обязательно должны быть равноотстоящими отсчетами, использованными выше. Например, выборки могут быть расположены неравномерно, хотя, если имеется значительная группировка, выборки должны быть известны очень точно, чтобы обеспечить хорошее восстановление функции. Процесс реконструкции также в большей степени связан с неравным расстоянием. Далее можно показать, что значения функции и ее производной в каждой другой точке выборки достаточно. Значение, а также первая и вторая производные в каждой третьей точке выборки дают другой набор параметров, которые однозначно определяют функцию. Вообще говоря, для ее описания можно использовать любой набор из двух независимых чисел TW , связанных с функцией.

Несмотря на то, что в отсутствие шума многие из разложений, предложенных Шенноном, верны, они становятся некорректными . Произвольно небольшое количество шума в данных делает восстановление нестабильным. Такие расширения выборки бесполезны на практике, поскольку шум выборки, такой как шум квантования , исключает стабильную интерполяцию и, следовательно, любое практическое использование.

Пример

Предложение Шеннона об одновременной выборке сигнала и его производной с половиной частоты Найквиста приводит к хорошей интерполяции. ^{[ 6 ]} Теорема Ченга-Маркса противоречиво показывает, что чередование выборок сигнала и производных делает задачу восстановления некорректной. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Теорема также показывает, что чувствительность увеличивается с увеличением порядка производной. ^{[ 7 ]}

Теорема

Как правило, теорема Ченга-Маркса показывает, что теорема выборки становится некорректной, когда площадь ( интеграл ) квадрата величины интерполяционной функции за все время не конечна. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} «Хотя концепция обобщенной выборки относительно проста, реконструкция не всегда осуществима из-за потенциальной нестабильности». ^{[ 8 ]}

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Браун, Дж.Л.; Кабрера, SD (май 1991 г.). «О корректности обобщенного расширения выборки Папулиса». Транзакции IEEE в схемах и системах . 38 (5): 554–6. дои : 10.1109/31.76494 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Чунг, К.Ф.; Маркс II, Р.Дж. (1985). «Теоремы о некорректной выборке». Транзакции IEEE в схемах и системах . 32 (5): 481–4. дои : 10.1109/TCS.1985.1085735 .
^ Зейднер, Д. (2000). «Расширение векторной выборки». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 48 (5): 1401–16. Бибкод : 2000ITSP...48.1401S . дои : 10.1109/78.839986 .
^ Брейсвелл, Р.Н. (2000). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-116043-8 .
^ Шеннон, Клод Э. (январь 1949 г.). «Связь в условиях шума» (PDF) . Учеб. Институт радиоинженеров . 37 (1): 10–21. дои : 10.1109/JRPROC.1949.232969 . S2CID 52873253 . Также два : 10.1109/JPROC.1998.65949
^ Папулис, Афанасиос (1977). Анализ сигналов . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-048460-3 . OCLC 489738322 .
^ Унсер, М.; Зерубия, Дж. (1997). «Обобщенная выборка: анализ стабильности и производительности». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 45 (12): 2941–50. Бибкод : 1997ИТСП...45.2941У . дои : 10.1109/78.650255 .
^ Унсер, М. (апрель 2000 г.). «Отбор проб – 50 лет после Шеннона» (PDF) . Труды IEEE . 88 (4): 569–587. дои : 10.1109/5.843002 . S2CID 11657280 .

[BC-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Браун, Дж.Л.; Кабрера, SD (май 1991 г.). «О корректности обобщенного расширения выборки Папулиса». Транзакции IEEE в схемах и системах . 38 (5): 554–6. дои : 10.1109/31.76494 .

[CMT-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Чунг, К.Ф.; Маркс II, Р.Дж. (1985). «Теоремы о некорректной выборке». Транзакции IEEE в схемах и системах . 32 (5): 481–4. дои : 10.1109/TCS.1985.1085735 .

[3] Зейднер, Д. (2000). «Расширение векторной выборки». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 48 (5): 1401–16. Бибкод : 2000ITSP...48.1401S . дои : 10.1109/78.839986 .

[4] Брейсвелл, Р.Н. (2000). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.). МакГроу Хилл. ISBN 978-0-07-116043-8 .

[CES-5] Шеннон, Клод Э. (январь 1949 г.). «Связь в условиях шума» (PDF) . Учеб. Институт радиоинженеров . 37 (1): 10–21. дои : 10.1109/JRPROC.1949.232969 . S2CID 52873253 . Также два : 10.1109/JPROC.1998.65949

[6] Папулис, Афанасиос (1977). Анализ сигналов . МакГроу-Хилл. ISBN 978-0-07-048460-3 . OCLC 489738322 .

[7] Унсер, М.; Зерубия, Дж. (1997). «Обобщенная выборка: анализ стабильности и производительности». Транзакции IEEE по обработке сигналов . 45 (12): 2941–50. Бибкод : 1997ИТСП...45.2941У . дои : 10.1109/78.650255 .

[8] Унсер, М. (апрель 2000 г.). «Отбор проб – 50 лет после Шеннона» (PDF) . Труды IEEE . 88 (4): 569–587. дои : 10.1109/5.843002 . S2CID 11657280 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]