Инволюция Бендера – Кнута
В алгебраической комбинаторике инволюция Бендера -Кнута — это инволюция на множестве полустандартных таблиц , введенная Бендером и Кнутом (1972 , стр. 46–47) в их исследовании плоских разбиений .
Определение
[ редактировать ]Инволюции Бендера–Кнута σ k определены для целых чисел k и действуют на множестве полустандартных косых таблиц Юнга некоторой фиксированной формы µ/ν, где µ и ν являются разбиениями. Он действует путем изменения некоторых элементов k таблицы на k + 1 и некоторых записей k + 1 на k таким образом, что числа элементов со значениями k или k + 1 меняются местами. Назовите запись таблицы свободной , если она равна k или k нет другого элемента со значением k или k + 1 и в том же столбце + 1. Для любого i все свободные записи строки i находятся в последовательных столбцах и состоят из a i копий k, за которыми следуют b i копий k + 1, для некоторых a i и b i . Инволюция Бендера–Кнута σ k заменяет их на b i копий k, за которыми следуют a i копий k + 1.
Приложения
[ редактировать ]Инволюции Бендера – Кнута можно использовать, чтобы показать, что количество полустандартных косых таблиц заданной формы и веса не меняется при перестановках веса. В свою очередь, это означает, что функция Шура разбиения является симметричной функцией.
Инволюции Бендера-Кнута были использованы Стембриджем (2002) для краткого доказательства правила Литтлвуда-Ричардсона .
Ссылки
[ редактировать ]- Бендер, Эдвард А.; Кнут, Дональд Э. (1972), «Перечисление плоских разбиений», Журнал комбинаторной теории, серия A , 13 (1): 40–54, doi : 10.1016/0097-3165(72)90007-6 , ISSN 1096- 0899 , МР 0299574
- Стембридж, Джон Р. (2002), «Краткое доказательство правила Литтлвуда-Ричардсона» (PDF) , Electronic Journal of Combinatorics , 9 (1): Примечание 5, 4 стр. (электронный), doi : 10.37236/1666 , ISSN 1077-8926 , МР 1912814