Модель переговоров Рубинштейна

Модель переговоров Рубинштейна относится к классу игр с торгами, в которых предложения чередуются на бесконечном временном горизонте. Оригинальное доказательство принадлежит Ариэлю Рубинштейну в статье 1982 года. ^[1] Долгое время решение этой игры было загадкой; таким образом, решение Рубинштейна является одним из наиболее влиятельных открытий в теории игр .

Требования

Стандартная модель переговоров Рубинштейна включает следующие элементы:

Два игрока
Полная информация
Неограниченное количество предложений — игра продолжается до тех пор, пока один из игроков не примет предложение.
Чередующиеся предложения - первый игрок делает предложение в первом периоде, если второй игрок отклоняет, игра переходит ко второму периоду, в котором второй игрок делает предложение, если первый отклоняет, игра переходит к третьему периоду, и и так далее
Задержки обходятся дорого

Решение

Рассмотрим типичную игру Рубинштейна в торг, в которой два игрока решают, как разделить пирог размером 1. Предложение игрока принимает форму x = ( x ₁ , x ₂ ) с x ₁ + x ₂ = 1 и $x_{1},x_{2}\geqslant 0$ . Предположим, что игроки делают скидку по геометрической ставке d , которую можно интерпретировать как стоимость задержки или «порчу пирога». То есть, 1 шаг спустя, стоимость пирога будет в d раз больше, чем была, для некоторого d с 0<d<1.

Любой x может быть результатом равновесия Нэша в этой игре, что следует из следующего профиля стратегии: Игрок 1 всегда предлагает x = ( x ₁ , x ₂ ) и принимает только предложения x ' , где x ₁ ' ≥ x ₁ . Игрок 2 всегда предлагает x = ( x ₁ , x ₂ ) и принимает только предложения x ', где x ₂ ' ≥ x ₂ .

В приведенном выше равновесии Нэша угроза игрока 2 отклонить любое предложение меньше x ₂ неправдоподобна. В подигре, где игрок 1 предложил x ₂ ', где x ₂ > x ₂ ' > d x ₂ , очевидно, что лучший ответ игрока 2 — это принять.

Чтобы получить достаточное условие идеального равновесия в подыгре , пусть x = ( x ₁ , x ₂ ) и y = ( y ₁ , y ₂ ) — два деления пирога со следующим свойством:

x ₂ = d y ₂ , и
у ₁ знак равно d Икс ₁ ,

то есть

х = ( х ₁ , х ₂ ) и
у знак равно ( d Икс ₁ , ${\frac {1}{d}}x_{2}$ ).

Рассмотрим профиль стратегии, в котором игрок 1 предлагает x и принимает не менее y ₁ , а игрок 2 предлагает y и принимает не менее x ₂ . Игроку 2 теперь безразлично, принять или отклонить предложение, поэтому угроза отклонения меньших предложений теперь реальна. То же самое относится и к вспомогательной игре, в которой наступает очередь игрока 1 решать, принять или отклонить предложение. В этом идеальном равновесии подигры игрок 1 получает 1/(1+ d ), а игрок 2 получает d /(1+ d ). Это идеальное равновесие подыгры по сути уникально.

Обобщение

Когда коэффициент дисконтирования различен для двух игроков, $d_{1}$ для первого и $d_{2}$ для второго обозначим значение для первого игрока как $v(d_{1},d_{2})$ . Тогда рассуждение, подобное приведенному выше, дает

$1-v(d_{1},d_{2})=d_{2}\times v(d_{2},d_{1})$
$1-v(d_{2},d_{1})=d_{1}\times v(d_{1},d_{2})$

уступчивость $v(d_{1},d_{2})={\frac {1-d_{2}}{1-d_{1}d_{2}}}$ . Это выражение сводится к исходному для $d_{1}=d_{2}=d$ .

желательность

Переговоры Рубинштейна получили широкое распространение в литературе, поскольку обладают многими желательными качествами:

Он отвечает всем вышеупомянутым требованиям, которые, как считается, точно имитируют реальные переговоры.
Есть уникальное решение.
Решение довольно чистое, чего не ожидалось, учитывая, что игра бесконечна.
Никаких задержек в транзакции нет.
Поскольку оба игрока становятся бесконечно терпеливыми или могут делать встречные предложения все быстрее (т. е. когда d приближается к 1), обе стороны получают половину пирога.
Результат количественно определяет преимущество того, что вы первым сделаете предложение (и, таким образом, потенциально избежите скидки).
Обобщенный результат количественно определяет преимущество меньшей нехватки времени, т. е. наличия коэффициента дисконтирования, близкого к 1, чем у другой стороны.

Ссылки

^ Рубинштейн, Ариэль (1982). «Идеальное равновесие в модели переговоров» (PDF) . Эконометрика . 50 (1): 97–109. CiteSeerX 10.1.1.295.1434 . дои : 10.2307/1912531 . JSTOR 1912531 . S2CID 14827857 .

Дальнейшее чтение

Майерсон, Роджер Б. (1991). Теория игр: анализ конфликта . Кембридж: Издательство Гарвардского университета. стр. 394–408. ISBN 978-0-674-34115-9 .

[Rubinstein1982-1] Рубинштейн, Ариэль (1982). «Идеальное равновесие в модели переговоров» (PDF) . Эконометрика . 50 (1): 97–109. CiteSeerX 10.1.1.295.1434 . дои : 10.2307/1912531 . JSTOR 1912531 . S2CID 14827857 .

[1]