Строительство Неймана

Конструкция Неймана , названная в честь Ежи Неймана , представляет собой частотный метод построения интервала на доверительном уровне. $C,\,$ так что, если мы повторим эксперимент много раз, интервал будет содержать истинное значение некоторого параметра, $C\,$ того времени.

Теория

Предполагать $X_{1},X_{2},...X_{n}$ являются случайными величинами с совместным PDF-файлом $f(x_{1},x_{2},...x_{n}|\theta _{1},\theta _{2},...,\theta _{k})$, который зависит от k неизвестных параметров. Для удобства пусть $\Theta$ быть пространством выборки, определяемым n случайными величинами, и впоследствии определить точку выборки в пространстве выборки как $X=(X_{1},X_{2},...X_{n})$
Первоначально Нейман предложил определить две функции. $L(x)$ и $U(x)$ такое, что для любой точки выборки $X$,

• $L(X)\leq U(X)$ $\forall X\in \Theta$
• L и U однозначны и определены.

Учитывая наблюдение, $X^{'}$, вероятность того, что $\theta _{1}$ лежит между $L(X^{'})$ и $U(X^{'})$ определяется как $P(L(X^{'})\leq \theta _{1}\leq U(X^{'})|X^{'})$ с вероятностью $0$ или $1$. Эти рассчитанные вероятности не позволяют сделать значимые выводы о $\theta _{1}$ поскольку вероятность равна просто нулю или единице. Более того, согласно частотной конструкции параметры модели являются неизвестными константами и не могут быть случайными величинами. Например, если $\theta _{1}=5$, затем $P(2\leq 5\leq 10)=1$. Аналогично, если $\theta _{1}=11$, затем $P(2\leq 11\leq 10)=0$

Как описывает Нейман в своей статье 1937 года, предположим, что мы рассматриваем все точки выборочного пространства, то есть $\forall X\in \Theta$, которые представляют собой систему случайных величин, определенных совместным PDF-файлом, описанным выше. С $L$ и $U$ являются функциями $X$ они тоже являются случайными величинами, и можно изучить смысл следующего утверждения о вероятности:

Согласно частотной конструкции параметры модели являются неизвестными константами и не могут быть случайными величинами. Учитывая, что все точки выборки в пространстве выборки являются случайными величинами, определенными в совместном PDF-файле выше, это все. $X\in \Theta$ можно показать, что $L$ и $U$ являются функциями случайных величин и, следовательно, случайных величин. Поэтому можно оценить вероятность $L(X)$ и $U(X)$ для некоторых $X\in \Theta$. Если $\theta _{1}^{'}$ это истинная ценность $\theta _{1}$, мы можем определить $L$ и $U$ такая, что вероятность $L(X)\leq \theta _{1}^{'}$ и $\theta _{1}^{'}\leq U(X)$ равен заранее заданному уровню достоверности $,C$.

То есть, $P(L(X)\leq \theta _{1}^{'}\leq U(X)|\theta _{1}^{'})=C$ где $0\leq C\leq 1$ и $L(X)$ и $U(X)$ являются верхним и нижним доверительным пределом для $\theta _{1}$

Вероятность покрытия

Вероятность покрытия , $C$, для конструкции Неймана — это частота экспериментов, в которых доверительный интервал содержит фактическое интересующее значение. Обычно вероятность покрытия устанавливается равной $95\%$ уверенность. Для конструкции Неймана вероятность покрытия устанавливается равной некоторому значению $C$ где $0<C<1$.

Реализация

Построение Неймана можно выполнить путем выполнения нескольких экспериментов, в которых создаются наборы данных, соответствующие заданному значению параметра. Эксперименты аппроксимируются традиционными методами, а пространство подобранных значений параметров представляет собой диапазон, из которого можно выбрать доверительный интервал.

Классический пример

График 50 доверительных интервалов из 50 выборок, созданных на основе нормального распределения.

Предполагать $X\sim N(\theta ,\sigma ^{2})$, где $\theta$ и $\sigma ^{2}$ неизвестные константы, для которых мы хотим оценить $\theta$. Мы можем определить (2) однозначные функции, $L$ и $U$, определенный описанным выше процессом, так что при заданном уровне достоверности $C$и случайная выборка $X^{*}=(x_{1},x_{2},...x_{n})$

$L(X^{*})={\bar {x}}-t{\frac {s}{\sqrt {n}}}$

$U(X^{*})={\bar {x}}+t{\frac {s}{\sqrt {n}}}$

где $s/{\sqrt {n}}$ — стандартная ошибка , а выборочное среднее и стандартное отклонение составляют:

${\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1},x_{2},...x_{n})$

$s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$

Фактор $t$ следует распределению t с (n-1) степенями свободы, $t$~т _{$({1-C}/2,n-1)$}

Другой пример

$X_{1},X_{2},...,X_{n}$ являются iid случайными величинами, и пусть $T=(X_{1},X_{2},...,X_{n})$. Предполагать $T\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$. Теперь, чтобы построить доверительный интервал с $C$ уровень доверия. Мы знаем ${\bar {x}}$ достаточно для $\mu$. Так,

$p(-Z_{\frac {\alpha }{2}}\leq {\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma ^{2}}}\leq Z_{\frac {\alpha }{2}})=C$

$p(-Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2}\leq {\bar {x}}-\mu \leq Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2})=C$

$p({\bar {x}}-Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2}\leq \mu \leq {\bar {x}}+Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2})=C$

Это создает $100(C)\%$ доверительный интервал для $\mu$ где,

$L(T)={\bar {x}}-Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2}$

$U(T)={\bar {x}}+Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2}$.

См. также

• Вероятностные интерпретации