Порядковый номер преемника

В теории множеств , преемником порядкового числа α является наименьшее порядковое число, большее, чем α . Порядковый номер, который является преемником, называется порядковым номером преемника . Порядковые номера 1, 2 и 3 — это первые три порядковых номера-преемника, а ординалы ω+1, ω+2 и ω+3 — это первые три бесконечных порядковых номера-преемника.

Свойства

Каждый порядковый номер, отличный от 0, является либо порядковым номером-преемником, либо предельным порядковым номером .

В модели фон Неймана

Используя порядковые числа фон Неймана (стандартная модель ординалов, используемых в теории множеств), преемник S ( α ) порядкового числа α задается формулой

$S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.$

Поскольку порядок порядковых чисел определяется соотношением α < β тогда и только тогда, когда α ∈ β ) нет порядкового числа , сразу же становится ясно, что между α и S ( α , а также ясно, что α < S ( α ) .

Порядковое сложение

Операцию-преемник можно использовать для определения порядкового сложения строгого с помощью трансфинитной рекурсии следующим образом:

$\alpha +0=\alpha \!$

$\alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )$

и для предельного ординала λ

$\alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )$

В частности, S ( α ) = α + 1 . Умножение и возведение в степень определяются аналогично.

Топология

Точки-преемники и ноль являются изолированными точками класса порядковых чисел относительно топологии порядка .

См. также

• Порядковая арифметика
• Предельный порядковый номер
• Кардинал-преемник