Волны изоэнтропического расширения

Волны изэнтропического расширения возникают, когда сверхзвуковой поток перенаправляется вдоль искривленной поверхности. Эти волны изучаются, чтобы получить связь между углом отклонения и числом Маха . Каждая волна в данном случае является волной Маха , поэтому она находится под углом $\alpha =sin^{-1}({\frac {1}{M}})$ , где M — число Маха непосредственно перед волной. Волны расширения расходятся, поскольку по мере расширения потока значение числа Маха увеличивается, тем самым уменьшая угол Маха .

В изэнтропической волне скорость изменяется от $v$ к $(v+dv)$, с отклонением $d\theta$. Мы ориентировали систему координат ортогонально волне. Напишем основные уравнения (непрерывности, импульса и 1-го, 2-го законов термодинамики) для этого бесконечно малого контрольного объема.

Волны расширения по искривленной поверхности

Анализ контрольного объема

Предположения :

1. Стабильный поток.
2. Незначительные силы тела.
3. Адиабатическое течение.
4. Никаких условий работы.
5. Незначительное гравитационное воздействие.

Связь между θ,M и v

Уравнение непрерывности :

${\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{CV}\rho dV+\int \limits _{CS}\rho {\bar {v}}.d{\bar {A}}=0$ .......(1.1)

Первый член равен нулю по предположению (1) .

Now,   ${-\rho v\sin \alpha A}+{(\rho +d\rho )(v+dv)\sin(a-d\theta )A}=0$

or    $\rho v\sin \alpha =(\rho +d\rho )(v+dv)\sin(\alpha -d\theta )$......  (1.2)

Теперь рассмотрим уравнение импульса для нормального и касательного скачка скачка.

Для $y$- компонент,

$F_{S_{y}}+F_{B_{y}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{CV}v_{y}\rho dV+\int \limits _{CS}v_{y}\rho {\bar {v}}.d{\bar {A}}$......(1.3)

Второй член LHS и первый член RHS равны нулю из-за предположений (2) и (1) соответственно .

Затем,

$0=v\cos \alpha (-\rho v\sin \alpha A)+(v+dv)\cos(\alpha -d\theta ){(\rho +d\rho )(v+dv)\sin(\alpha -d\theta )A}$

Или используя непрерывность ,

$v\cos \alpha =(v+dv)\cos(\alpha -d\theta )$

Расширяя и упрощая [Используя факты, которые в первом порядке, в пределе как $d\theta \rightarrow 0$, $\cos {d\theta }\rightarrow 1$ и $\sin {d\theta }\rightarrow d\theta$], получаем

$d\theta ={\frac {-dv}{v\tan \alpha }}$

But,  $\sin \alpha ={\frac {1}{M}}$,

so, $\tan \alpha ={\frac {1}{\sqrt {(M^{2}-1)}}}$,
and

$d\theta =-{\frac {{\sqrt {(M^{2}-1)}}dv}{v}}$  ......(1.4)

Вывод функции сверхзвукового расширения Прандтля-Мейера.

Мы пропускаем анализ $x$-компонента импульса и переходим к первому закону термодинамики, который гласит:

${\dot {Q}}-{\dot {W}}_{s}-{\dot {W}}_{shear}-{\dot {W}}_{other}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{CV}e\rho dV+\int \limits _{CS}h\rho {\bar {v}}.d{\bar {A}}$ .........(1.5)

Первый член LHS, следующие три члена LHS и первый член RHS равны нулю из-за предположений (3), (4) и (1) соответственно.

где,

$e=u+{\frac {v^{2}}{2}}+gz$

Для нашего контрольного объема получаем

$0=[{h+{\frac {v^{2}}{2}}}](-\rho v\sin \alpha A)+[(h+dh)+{\frac {(v+dv)^{2}}{2}}][(\rho +d\rho )(v+dv)\sin(\alpha -d\theta )A]$

Это можно упростить как

${h+{\frac {v^{2}}{2}}}=(h+dh)+{\frac {(v+dv)^{2}}{2}}$

Разлагая и упрощая в пределе до первого порядка, получаем

$dh=-vdv$

Если ограничиться идеальными газами, $dh=c_{p}dT$ , так

$c_{p}dT=-vdv$ ......(1.6)

Приведенное выше уравнение связывает дифференциальные изменения скорости и температуры. Мы можем вывести связь между $M$ и $v$ с использованием $v=Mc=M{\sqrt {kRT}}$. Дифференцируя (и деля левую часть на $v$ и право на ${\sqrt {kRT}}$ ),

${\frac {dv}{v}}={\frac {dM}{M}}+{\frac {dT}{2T}}$

Используя уравнение 1.6

${\frac {dv}{v}}={\frac {dM}{M}}-{\frac {vdv}{2c_{p}T}}={\frac {dM}{M}}-{\frac {dv{\frac {v^{2}}{c_{p}T}}}{2v}}={\frac {dM}{M}}-{\frac {dv{\frac {M^{2}c^{2}}{c_{p}T}}}{2v}}$

${\frac {dM}{M}}-{\frac {dv{\frac {M^{2}kRT}{c_{p}T}}}{2v}}={\frac {dM}{M}}-{\frac {dv[M^{2}(k-1)]}{2v}}$

Следовательно,

${\frac {dv}{v}}={\frac {2}{2+M^{2}(k-1)}}{\frac {dM}{M}}$ .....(1.7)

Объединив (1.4) и (1.7)

${\frac {d\theta }{2{\sqrt {(M^{2}-1)}}}}=-{\frac {1}{2+M^{2}(k-1)}}{\frac {dM}{M}}$ .....(1.8)

Обычно мы применяем приведенное выше уравнение к отрицательным $d\theta$, позволять $d\omega =d\theta$. Мы можем интегрировать это между начальным и конечным числами Маха данного потока, но будет удобнее интегрировать из исходного состояния, критической скорости ( $M=1$) к числу Маха $M$, с $\omega$ произвольно устанавливается равным нулю в $M=1$,

$\int \limits _{0}^{\omega }d\omega =\int \limits _{1}^{M}{\frac {2{\sqrt {(M^{2}-1)}}}{2+M^{2}(k-1)}}{\frac {dM}{M}}$

Что приводит к сверхзвуковой функции расширения Прандтля-Мейера :

$\omega ={\sqrt {({\frac {k+1}{k-1}})}}\ tan^{-1}[{\frac {\sqrt {k-1}}{\sqrt {k+1}}}(M^{2}-1)]-\ tan^{-1}(M^{2}-1)$