Дисперсионное разложение ошибок прогноза

В эконометрике и других приложениях многомерного анализа временных рядов дисперсионное разложение или разложение дисперсии ошибки прогноза ( FEVD ) используется для помощи в интерпретации модели векторной авторегрессии (VAR) после ее подбора. ^[1] Разложение дисперсии показывает количество информации , которую каждая переменная вносит в другие переменные авторегрессии. Он определяет, какая часть дисперсии ошибки прогноза каждой из переменных может быть объяснена экзогенными потрясениями для других переменных.

Расчет дисперсии ошибки прогноза

Для ВАР(п) формы

y_{t}=\nu +A_{1}y_{t-1}+\dots +A_{p}y_{t-p}+u_{t}

.

Ее можно изменить на структуру VAR(1), записав ее в сопутствующей форме (см. общее матричное обозначение VAR(p))

Y_{t}=V+AY_{t-1}+U_{t}

где

A={\begin{bmatrix}A_{1}&A_{2}&\dots &A_{p-1}&A_{p}\\\mathbf {I} _{k}&0&\dots &0&0\\0&\mathbf {I} _{k}&&0&0\\\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &\mathbf {I} _{k}&0\\\end{bmatrix}}

,

Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{p}\end{bmatrix}}

,

V={\begin{bmatrix}\nu \\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}

и

U_{t}={\begin{bmatrix}u_{t}\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}

где $y_{t}$ , $\nu$ и $u$ являются $k$ размерные векторы-столбцы, $A$ является $kp$ к $kp$ размерная матрица и $Y$ , $V$ и $U$ являются $kp$ размерные векторы-столбцы.

Среднеквадратическая ошибка h-шагового прогноза переменной $j$ является

\mathbf {MSE} [y_{j,t}(h)]=\sum _{i=0}^{h-1}\sum _{l=1}^{k}(e_{j}'\Theta _{i}e_{l})^{2}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Theta _{i}\Theta _{i}'{\bigg )}_{jj}={\bigg (}\sum _{i=0}^{h-1}\Phi _{i}\Sigma _{u}\Phi _{i}'{\bigg )}_{jj},

и где

$e_{j}$ это Дж ^й столбец $I_{k}$ и нижний индекс $jj$ относится к этому элементу матрицы

$\Theta _{i}=\Phi _{i}P,$ где $P$ представляет собой нижнюю треугольную матрицу, полученную Холецкого разложением $\Sigma _{u}$ такой, что $\Sigma _{u}=PP'$ , где $\Sigma _{u}$ - ковариационная матрица ошибок $u_{t}$