Тавтологическое следствие

В высказываний логике тавтологическое следствие — это строгая форма логического следствия. ^[1] тавтологичность сохраняется от одной предложения . строки доказательства к другой Не все логические следствия являются тавтологическими следствиями. Предложение $Q$ называется тавтологическим следствием одного или нескольких других предложений ( $P_{1}$ , $P_{2}$ , ..., $P_{n}$ ) в доказательстве относительно некоторой логической системы , если можно действительно ввести предложение в линию доказательства в рамках правил системы; и во всех случаях, когда каждый из ( $P_{1}$ , $P_{2}$ , ..., $P_{n}$ ) верно, предложение $Q$ тоже верно.

Другой способ выразить сохранение тавтологичности — использовать таблицы истинности . Предложение $Q$ называется тавтологическим следствием одного или нескольких других предложений ( $P_{1}$ , $P_{2}$ , ..., $P_{n}$ ) тогда и только тогда, когда в каждой строке совместной таблицы истинности, которая присваивает «T» всем предложениям ( $P_{1}$ , $P_{2}$ , ..., $P_{n}$ ) таблица истинности также присваивает «T» $Q$ .

Пример

$a$ = «Сократ — мужчина». $b$ = «Все люди смертны». $c$ = «Сократ смертен».

а

б

{\therefore c}

Вывод этого аргумента является логическим следствием посылок, поскольку невозможно, чтобы все посылки были истинными, а вывод ложным.

Совместная таблица истинности для a ∧ b и c
а	б	с	а ∧ б	с
Т	Т	Т	Т	Т
Т	Т	Ф	Т	Ф
Т	Ф	Т	Ф	Т
Т	Ф	Ф	Ф	Ф
Ф	Т	Т	Ф	Т
Ф	Т	Ф	Ф	Ф
Ф	Ф	Т	Ф	Т
Ф	Ф	Ф	Ф	Ф

Анализ таблицы истинности показывает, что вывод аргумента не является тавтологическим следствием посылки. Не каждая строка, которая присваивает T посылке, также присваивает T заключению. В частности, именно вторая строка присваивает T a ∧ b , но не присваивает T c .

Обозначение и свойства

Тавтологическое следствие можно также определить как $P_{1}$ ∧ $P_{2}$ ∧ ... ∧ $P_{n}$ → $Q$ является подстановочным примером тавтологии с тем же эффектом. ^[2]

Из определения следует, что если предложение p является противоречием, то p тавтологически подразумевает каждое предложение, поскольку не существует оценки истинности, которая делает p истинным, и поэтому определение тавтологической импликации тривиально удовлетворяется. Аналогично, если p — тавтология, то p тавтологически подразумевается из каждого предложения.

См. также

Примечания

^ Барвайз и Этчеменди 1999, с. 110
^ Роберт Л. Кози (2006). Логика, множества и рекурсия . Джонс и Бартлетт Обучение. стр. 51–52. ISBN 978-0-7637-3784-9 . OCLC 62093042 .

Ссылки

Барвайз, Джон и Джон Этчеменди . Язык, доказательство и логика . Стэнфорд: Публикации CSLI (Центра изучения языка и информации), 1999. Печать.
Клини, SC (1967) Математическая логика , переиздано в 2002 году, Dover Publications , ISBN 0-486-42533-9 .

[1] Барвайз и Этчеменди 1999, с. 110

[Causey2006-2] Роберт Л. Кози (2006). Логика, множества и рекурсия . Джонс и Бартлетт Обучение. стр. 51–52. ISBN 978-0-7637-3784-9 . OCLC 62093042 .

[1]

[2]