Критерий диапазона

В квантовой механике , в частности в квантовой информации , критерий диапазона является необходимым условием, которому состояние должно удовлетворять, чтобы быть разделимым . Другими словами, это критерий разделимости .

Результат

Рассмотрим квантовомеханическую систему, состоящую из n подсистем. Пространство состояний H такой системы является тензорным произведением состояний подсистем, т.е. $H=H_{1}\otimes \cdots \otimes H_{n}$.

Для простоты мы будем предполагать, что все соответствующие пространства состояний конечномерны.

Критерий звучит следующим образом: если ρ — разделимое смешанное состояние, действующее на H , то диапазон ρ охватывается набором векторов произведений.

Доказательство

В общем случае, если матрица M имеет вид $M=\sum _{i}v_{i}v_{i}^{*}$, диапазон M , Ran(M) , содержится в линейной оболочке $\;\{v_{i}\}$. С другой стороны, мы также можем показать $v_{i}$ лежит в Ran(M) для всех i . Без ограничения общности предположим, что i = 1 . Мы можем написать $M=v_{1}v_{1}^{*}+T$, где T эрмитово и положительно полуопределено. Есть две возможности:

1) пролет $\{v_{1}\}\subset$Кер(Т) . Очевидно, что в этом случае $v_{1}\in$ Ран(М) .

2) Замечание 1) верно тогда и только тогда, когда Ker(T) $\;^{\perp }\subset$ охватывать $\{v_{1}\}^{\perp }$, где $\perp$ обозначает ортогональное дополнение. По эрмитичности T это то же самое, что Ran(T) $\subset$ охватывать $\{v_{1}\}^{\perp }$. Таким образом, если 1) не выполняется, то пересечение Ran(T) $\cap$ охватывать $\{v_{1}\}$ непусто, т. е. существует некоторое комплексное число α такое, что $\;Tw=\alpha v_{1}$. Так

$Mw=\langle w,v_{1}\rangle v_{1}+Tw=(\langle w,v_{1}\rangle +\alpha )v_{1}.$

Поэтому $v_{1}$ лежит в Ran(M) .

Таким образом, Ran(M) совпадает с линейной оболочкой $\;\{v_{i}\}$. Критерий диапазона является частным случаем этого факта.

Матрица плотности ρ, действующая на H, является сепарабельной тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде

$\rho =\sum _{i}\psi _{1,i}\psi _{1,i}^{*}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}\psi _{n,i}^{*}$

где $\psi _{j,i}\psi _{j,i}^{*}$ является (ненормализованным) чистым состоянием j -й подсистемы. Это также

$\rho =\sum _{i}(\psi _{1,i}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i})(\psi _{1,i}^{*}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}^{*}).$

Но это точно такая же форма, как M сверху, с состоянием векторного произведения $\psi _{1,i}\otimes \cdots \otimes \psi _{n,i}$ замена $v_{i}$. Отсюда сразу следует, что диапазон ρ представляет собой линейную продолжительность этих состояний-продуктов. Это доказывает критерий.

Ссылки

• П. Городецкий, «Критерий разделимости и неразделимые смешанные состояния с положительной частичной транспозицией», Physics Letters A 232 , (1997).