Единый контроль

В оптимальном управлении проблемы сингулярного управления — это проблемы, которые трудно решить, поскольку прямое применение принципа минимума Понтрягина не дает полного решения. Лишь немногие из таких задач были решены, например, проблема портфеля Мертона в финансовой экономике или оптимизация траектории в аэронавтике. Далее следует более техническое объяснение.

Наиболее распространенная трудность при применении принципа Понтрягина возникает, когда гамильтониан линейно зависит от управления $u$ , т. е. имеет вид: $H(u)=\phi (x,\lambda ,t)u+\cdots$ и управление ограничено нахождением между верхней и нижней границей: $a\leq u(t)\leq b$ . Чтобы свести к минимуму $H(u)$ , нам нужно сделать $u$ как можно больше или меньше, в зависимости от знака $\phi (x,\lambda ,t)$ , конкретно:

u(t)={\begin{cases}b,&\phi (x,\lambda ,t)<0\\?,&\phi (x,\lambda ,t)=0\\a,&\phi (x,\lambda ,t)>0.\end{cases}}

Если $\phi$ в некоторые моменты времени положителен, в другие моменты отрицателен и равен нулю только мгновенно, тогда решение является простым и представляет собой импульсное управление , которое переключается с $b$ к $a$ временами, когда $\phi$ переключается с отрицательного на положительное.

Тот случай, когда $\phi$ остается на нуле в течение конечного промежутка времени $t_{1}\leq t\leq t_{2}$ называется особым случаем управления . Между $t_{1}$ и $t_{2}$ максимизация гамильтониана по $u$ не дает нам никакой полезной информации, и решение в этом временном интервале придется искать из других соображений. Один из подходов заключается в многократном дифференцировании $\partial H/\partial u$ по времени до тех пор, пока элемент управления u снова не появится явно, хотя не гарантируется, что это произойдет в конечном итоге. Затем можно обнулить это выражение и найти решение для u. Это означает, что между $t_{1}$ и $t_{2}$ контроль $u$ определяется требованием продолжения выполнения условия сингулярности. Полученная так называемая особая дуга, если она оптимальна, будет удовлетворять условию Келли : ^[1]

(-1)^{k}{\frac {\partial }{\partial u}}\left[{\left({\frac {d}{dt}}\right)}^{2k}H_{u}\right]\geq 0,\,k=0,1,\cdots

Другие называют это условие обобщенным условием Лежандра-Клебша .

Термин «регулярное управление» относится к элементу управления, который имеет как одночастную, так и единичную часть.

Ссылки

^ Зеликин, М.И. ; Борисов, В.Ф. (2005). «Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики». Журнал математических наук . 130 (1): 4409–4570 [теорема 11.1]. дои : 10.1007/s10958-005-0350-5 . S2CID 122382003 .

Внешние ссылки

Брайсон, Артур Э. младший; Хо, Ю-Чи (1969). «Сингулярные решения задач оптимизации и управления» . Прикладное оптимальное управление . Уолтем: Блейсделл. стр. 246–270. ISBN 9780891162285 .

[1] Зеликин, М.И. ; Борисов, В.Ф. (2005). «Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики». Журнал математических наук . 130 (1): 4409–4570 [теорема 11.1]. дои : 10.1007/s10958-005-0350-5 . S2CID 122382003 .

[1]