Теорема Лакса об эквивалентности

В численном анализе является теорема Лакса об эквивалентности фундаментальной теоремой при анализе конечно-разностных методов численного решения уравнений в частных производных . В нем говорится, что для непротиворечивого метода конечных разностей для корректной линейной задачи начального значения метод сходится тогда и только тогда, когда он устойчив .

Важность теоремы заключается в том, что, хотя сходимость решения метода конечных разностей к решению уравнения в частных производных является желаемой, ее обычно трудно установить, поскольку численный метод определяется рекуррентным соотношением, в то время как дифференциальный метод уравнение включает в себя дифференцируемую функцию. Однако непротиворечивость (требование, чтобы метод конечных разностей аппроксимировал правильное уравнение в частных производных) проверить несложно, а стабильность обычно гораздо легче продемонстрировать, чем сходимость (и в любом случае она будет необходима, чтобы показать, что ошибка округления не будет уничтожить расчет). Следовательно, сходимость обычно доказывается с помощью теоремы эквивалентности Лакса.

Стабильность в этом контексте означает, что матричная норма матрицы, используемой в итерации, не превышает единицы , что называется (практической) стабильностью Лакса – Рихтмайера. Часто анализ устойчивости по фон Нейману для удобства заменяют , хотя устойчивость по фон Нейману подразумевает устойчивость Лакса – Рихтмайера только в некоторых случаях.

Эта теорема принадлежит Питеру Лаксу . Ее иногда называют теоремой Лакса-Рихтмайера , в честь Питера Лакса и Роберта Д. Рихтмайера .