Нильсемигрупп

В математике, а точнее в полугрупп теории , нильполугруппа или нильпотентная полугруппа — это полугруппа, каждый элемент которой нильпотентен .

Определения

Формально полугруппа S является нильполугруппой, если:

• S содержит 0 и
• для каждого элемента a ∈ S существует целое положительное число k такое, что a ^к = 0 .

Конечные нильполугруппы

Эквивалентные определения существуют для конечной полугруппы. Конечная полугруппа S нильпотентна, если, что эквивалентно:

• $x_{1}\dots x_{n}=y_{1}\dots y_{n}$ для каждого $x_{i},y_{i}\in S$, где $n$ — мощность S .
• Ноль является единственным идемпотентом S .

Примеры

Тривиальная полугруппа одного элемента тривиально является нильполугруппой.

Множество строго верхнетреугольных матриц с умножением матриц нильпотентно.

Позволять $I_{n}=[a,n]$ ограниченный интервал положительных действительных чисел. Для x , y, принадлежащих I , определим $x\star _{n}y$ как $\min(x+y,n)$. Сейчас мы покажем, что $\langle I,\star _{n}\rangle$ — нильполугруппа, нулем которой является n . натурального числа k Для каждого kx равно $\min(kx,n)$. Для k, по крайней мере, равного $\left\lceil {\frac {n-x}{x}}\right\rceil$, kx равно n . Этот пример обобщается для любого ограниченного интервала архимедовой упорядоченной полугруппы.

Характеристики

Нетривиальная нильполугруппа не содержит единичного элемента. Отсюда следует, что единственный нильпотентный моноид — это тривиальный моноид.

Класс нильполугрупп:

• замкнутый при взятии подполугрупп
• замкнутый при взятии частного
• замкнутый при конечных произведениях
• но не замкнуто относительно произвольного прямого произведения . Действительно, возьмем полугруппу $S=\prod _{i\in \mathbb {N} }\langle I_{n},\star _{n}\rangle$, где $\langle I_{n},\star _{n}\rangle$ определяется, как указано выше. Полугруппа S является прямым произведением нильполугрупп, однако она не содержит нильпотентных элементов.

Отсюда следует, что класс нильполугрупп не является разновидностью универсальной алгебры . Однако множество конечных нильполугрупп является разновидностью конечных полугрупп . Многообразие конечных нильполугрупп определяется проконечными равенствами $x^{\omega }y=x^{\omega }=yx^{\omega }$.

Ссылки

• Пин, Жан-Эрик (15 июня 2018 г.). Математические основы теории автоматов (PDF) . п. 198.
• Грилье, Пенсильвания (1995). Полугруппы . ЦРК Пресс . п. 110. ИСБН  978-0-8247-9662-4 .