Функция Растригина

Функция Растригина двух переменных

В 3D

Контур

В математической оптимизации функция Растригина представляет собой невыпуклую функцию, используемую в качестве задачи проверки производительности алгоритмов оптимизации . Это типичный пример нелинейной мультимодальной функции. Впервые он был предложен в 1974 году Растригиным. ^[1] как двумерная функция и была обобщена Рудольфом. ^[2] Обобщенная версия была популяризирована компанией Hoffmeister & Bäck. ^[3] и Мюленбейн и др. ^[4] Нахождение минимума этой функции является довольно сложной задачей из-за большого пространства поиска и большого количества локальных минимумов .

На $n$ -мерная область определяется:

f(\mathbf {x} )=An+\sum _{i=1}^{n}\left[x_{i}^{2}-A\cos(2\pi x_{i})\right]

где $A=10$ и $x_{i}\in [-5.12,5.12]$ . Существует много экстремумов:

Глобальный минимум находится на $\mathbf {x} =\mathbf {0}$ где $f(\mathbf {x} )=0$ .
Максимальное значение функции для $x_{i}\in [-5.12,5.12]$ расположен вокруг $x_{i}\in [\pm 4.52299366...,...,\pm 4.52299366...]$ :

Количество измерений	Максимальное значение при $\pm 4.52299366$
1	40.35329019
2	80.70658039
3	121.0598706
4	161.4131608
5	201.7664509
6	242.1197412
7	282.4730314
8	322.8263216
9	363.1796117

Вот все значения с интервалом 0,5, перечисленные для 2D-функции Растригина с $x_{i}\in [-5.12,5.12]$ :

$f(x)$		$x_{1}$
$f(x)$		$0$	$\pm 0.5$	$\pm 1$	$\pm 1.5$	$\pm 2$	$\pm 2.5$	$\pm 3$	$\pm 3.5$	$\pm 4$	$\pm 4.5$	$\pm 5$	$\pm 5.12$
$x_{2}$	$0$	0	20.25	1	22.25	4	26.25	9	32.25	16	40.25	25	28.92
	$\pm 0.5$	20.25	40.5	21.25	42.5	24.25	46.5	29.25	52.5	36.25	60.5	45.25	49.17
	$\pm 1$	1	21.25	2	23.25	5	27.25	10	33.25	17	41.25	26	29.92
	$\pm 1.5$	22.25	42.5	23.25	44.5	26.25	48.5	31.25	54.5	38.25	62.5	47.25	51.17
	$\pm 2$	4	24.25	5	26.25	8	30.25	13	36.25	20	44.25	29	32.92
	$\pm 2.5$	26.25	46.5	27.25	48.5	30.25	52.5	35.25	58.5	42.25	66.5	51.25	55.17
	$\pm 3$	9	29.25	10	31.25	13	35.25	18	41.25	25	49.25	34	37.92
	$\pm 3.5$	32.25	52.5	33.25	54.5	36.25	58.5	41.25	64.5	48.25	72.5	57.25	61.17
	$\pm 4$	16	36.25	17	38.25	20	42.25	25	48.25	32	56.25	41	44.92
	$\pm 4.5$	40.25	60.5	41.25	62.5	44.25	66.5	49.25	72.5	56.25	80.5	65.25	69.17
	$\pm 5$	25	45.25	26	47.25	29	51.25	34	57.25	41	65.25	50	53.92
	$\pm 5.12$	28.92	49.17	29.92	51.17	32.92	55.17	37.92	61.17	44.92	69.17	53.92	57.85

Обилие локальных минимумов подчеркивает необходимость алгоритма глобальной оптимизации при необходимости найти глобальный минимум. Алгоритмы локальной оптимизации, скорее всего, застрянут в локальном минимуме.

См. также

Тестовые функции для оптимизации

Примечания

^ Растригин Л.А. «Системы экстремального управления». Мир, Москва (1974).
^ Г. Рудольф. «Глобальная оптимизация с параллельными стратегиями развития». Диссертация. Кафедра компьютерных наук, Дортмундский университет, июль 1990 г.
^ Ф. Хоффмайстер и Т. Бек. «Генетические алгоритмы и стратегии эволюции: сходства и различия», страницы 455–469 в: H.-P. Швефель и Р. Мэннер (ред.): Параллельное решение проблем из природы, PPSN I, Proceedings, Springer, 1991.
^ Х. Мюленбейн, Д. Шомиш и Дж. Борн. «Параллельный генетический алгоритм как оптимизатор функции». Параллельные вычисления, 17, страницы 619–632, 1991.

[1] Растригин Л.А. «Системы экстремального управления». Мир, Москва (1974).

[2] Г. Рудольф. «Глобальная оптимизация с параллельными стратегиями развития». Диссертация. Кафедра компьютерных наук, Дортмундский университет, июль 1990 г.

[3] Ф. Хоффмайстер и Т. Бек. «Генетические алгоритмы и стратегии эволюции: сходства и различия», страницы 455–469 в: H.-P. Швефель и Р. Мэннер (ред.): Параллельное решение проблем из природы, PPSN I, Proceedings, Springer, 1991.

[4] Х. Мюленбейн, Д. Шомиш и Дж. Борн. «Параллельный генетический алгоритм как оптимизатор функции». Параллельные вычисления, 17, страницы 619–632, 1991.

[1]

[2]

[3]

[4]