Аддитивное разложение состояния

Аддитивная декомпозиция состояний происходит, когда система разлагается на две или более подсистемы той же размерности , что и исходная система. ^[1]^[2] Обычно используемая декомпозиция в области управления состоит в том, чтобы разложить систему на две или более подсистемы более низкого порядка, называемую здесь декомпозицией подсистемы более низкого порядка. Напротив, аддитивная декомпозиция по состоянию заключается в разложении системы на две или более подсистемы той же размерности, что и исходная система. ^[3]

Если взять, к примеру, систему $P$ , то она разбивается на две подсистемы: $P p$ и $P s$ , где $dim(P p) = n p$ и $dim(P s) = n s$ соответственно. Декомпозиция подсистемы низшего порядка удовлетворяет условию

n=n_{p}+n_{s}{\text{ and }}P=P_{p}\oplus P_{s}

Напротив, аддитивное разложение по состоянию удовлетворяет

n=n_{p}=n_{s}{\text{ and }}P=P_{p}+P_{s}

О динамической системе управления

Рассмотрим «исходную» систему следующим образом:

{\dot {x}}=f(t,x,u),x(0)=x_{0}

( 1 )

где $x\in \mathbb {R} ^{n}$ .

Сначала вводится «первичная» система, имеющая то же измерение, что и исходная система:

{\dot {x}}_{p}=f_{p}(t,x_{p},u_{p}),

x_{p}(0)=x_{p,0}

( 2 )

где $x_{p}\in \mathbb {R} ^{n}.$

Из исходной системы и первичной системы получается следующая «вторичная» система:

{\dot {x}}-{\dot {x}}_{p}=f(t,x,u)-f_{p}(t,x_{p},u_{p}),x(0)=x_{0}

Новые переменные $x_{s}\in \mathbb {R} ^{n}$ определяются следующим образом:

x_{s}=x-x_{p},

u_{s}=u-u_{p}.

( 3 )

Тогда вторичную систему можно записать еще так:

{\dot {x}}_{s}=f(t,x_{p}+x_{s},u_{p}+u_{s})

-f_{p}(t,x_{p},u_{p}),x_{s}(0)=x_{0}-x_{p,0},

( 4 )

Из определения ( 3 ) следует

x(t)=x_{p}(t)+x_{s}(t),

t\geq 0.

Процесс показан на этой картинке:

Примеры

Пример 1

Фактически, идея аддитивного разложения состояний неявно упоминается в существующей литературе. Существующим примером является конструкция контроллера слежения, которая часто требует использования эталонной системы для определения динамики ошибок. Предполагается, что система отсчета (первичная система) задается следующим образом:

{\dot {x}}_{r}=f(t,x_{r},u_{r}),

x_{r}(0)=x_{r,0}

На основе эталонной системы динамика ошибок (вторичная система) определяется следующим образом:

{\dot {x}}_{e}=f(t,x_{e}+x_{r},u)-f(t,x_{r},u_{r}),

x_{e}(0)=x_{0}-x_{r,0}

где $x_{e}=x-x_{r}$

Это обычно используемый шаг для преобразования проблемы слежения в задачу стабилизации при использовании адаптивного управления.

Пример 2

Рассмотрим следующий класс систем:

{\dot {x}}(t)=\left(A+\Delta A(t)\right)x(t)+A_{d}x(t-T)+Br(t)

$e(t)=-\left(C+\Delta C(t)\right)x(t)+r(t)$

x(\theta )=\phi (\theta ),\theta \in [-T,0]

( 5 )

Выберите ( 5 ) в качестве исходной системы и спроектируйте основную систему следующим образом:

{\dot {x}}_{p}(t)=Ax_{p}(t)+A_{d}x_{p}(t-T)+Br(t)

$e_{p}(t)=-Cx_{p}(t)+r(t)$

x_{p}(\theta )=\phi (\theta ),\theta \in [-T,0]

( 6 )

Тогда вторичная система определяется по правилу ( 4 ):

{\dot {x}}_{s}(t)=\left(A+\Delta A(t)\right)x_{s}(t)+A_{d}x_{s}(t-T)+\Delta A(t)x_{p}(t)

$e_{s}(t)=-\left(C+\Delta C(t)\right)x_{s}(t)-\Delta C(t)x_{p}(t)$

x_{s}(\theta )=0,\theta \in [-T,0]

( 7 )

Путем аддитивного разложения по состоянию

e(t)=e_{p}(t)+e_{s}(t)

С

\|e(t)\|\leq \|e_{p}(t)\|+\|e_{s}(t)\|

ошибка отслеживания $e (t)$ может анализироваться с помощью $e p (t)$ и $e s (t)$ отдельно. Если $e p (t)$ и $es e (t)$ ограничены и малы, то и $(t) тоже$ . К счастью, обратите внимание, что ( 6 ) является линейной стационарной системой и не зависит от вторичной системы ( 7 ), для анализа которой доступно множество инструментов, таких как передаточная функция. Напротив, инструмент передаточной функции не может быть напрямую применен к исходной системе ( 5 ), поскольку он меняется во времени.

Пример 3

Рассмотрим следующий класс нелинейных систем:

{\dot {x}}=Ax+bu+\phi (y)+d,x(0)=x_{0}

y=c^{T}x

( 8 )

где $x, y, u$ представляют состояние, выход и вход соответственно; функция $φ (•)$ нелинейна. Цель состоит в том, чтобы спроектировать $u$ так, чтобы $y - r \to 0$ при $t \to \infty$ . Выберите ( 8 ) в качестве исходной системы и спроектируйте основную систему следующим образом:

{\dot {x}}_{p}=Ax_{p}+bu_{p}+\phi (r)+d,x_{p}(0)=x_{0}

y_{p}=c^{T}x_{p}

( 9 )

Тогда вторичная система определяется по правилу ( 4 ):

{\dot {x}}_{s}=Ax_{s}+bu_{s}+\phi \left(c^{T}x_{p}+c^{T}x_{s}\right)-\phi (r),x_{s}(0)=0

y_{s}=c^{T}x_{s}

( 10 )

где $ты s знак равно ты п$ . Тогда $x = x p + x s$ и $y знак равно y п + y s$ . Здесь задача $y p \to 0$ ставится перед линейной стационарной системой ( 9 ) (линейная стационарная система проще нелинейной). задача $x s \to 0$ ) ставится С другой стороны, нелинейной системе ( 10 (задача стабилизирующего управления проще задачи слежения). Если обе задачи выполнены, то $y = y p + y s \to 0$ . Основная идея состоит в том, чтобы разложить исходную систему на две подсистемы, отвечающие за более простые подзадачи. Затем разрабатываются контроллеры для двух подзадач и, наконец, объединяются для достижения исходной задачи управления. Процесс показан на этой картинке:

Сравнение с принципом суперпозиции

Хорошо известным примером неявного использования аддитивного разложения состояний является принцип суперпозиции, широко используемый в физике и технике.
Принцип суперпозиции гласит: для всех линейных систем чистая реакция в данном месте и времени, вызванная двумя или более стимулами, представляет собой сумму реакций, которые были бы вызваны каждым стимулом в отдельности. Для простой линейной системы:

{\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})

,

x(0)=0

утверждение принципа суперпозиции означает $x = x p + x s$ , где

{\dot {x}}_{p}=Ax_{p}+Bu_{1},x_{p}(0)=0

{\dot {x}}_{s}=Ax_{s}+Bu_{2},x_{s}(0)=0

Очевидно, этот результат также может быть получен из аддитивного разложения по состоянию. Более того, принцип суперпозиции и аддитивное разложение состояний имеют следующую связь.Судя по таблице 1, аддитивное разложение по состоянию можно применять не только к линейным, но и к нелинейным системам.

	Подходящие системы	Акцент
Принцип суперпозиции	Линейный	Суперпозиция
Аддитивное разложение состояния	Линейный/нелинейный	Разложение

Приложения

Аддитивная декомпозиция по состоянию используется для стабилизации управления. ^[4] и может быть расширен до аддитивного разложения выходного сигнала. ^[5]

Ссылки

^ Олоф Стаффанс (24 февраля 2005 г.). Корректные линейные системы . Издательство Кембриджского университета. стр. 13 –. ISBN 978-0-521-82584-9 .
^ Обеспечение качества обслуживания в гетерогенных средах . Эльзевир. стр. 626–. ISBN 978-0-444-51455-4 .
^ Дэвид Эйзенбуд (1 июля 1999 г.). Коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия и вычислительные методы . Спрингер Сингапур. стр. 67–. ISBN 978-981-4021-50-0 .
^ Цюань Цюань, Гуансюнь Ду, Кай-Юань Цай. «Стабилизированное управление с динамической инверсией и разложением аддитивного состояния дляКласс неопределенных систем MIMO», https://arxiv.org/abs/1211.6821.
^ Цюань Цюань, Кай-Юань Цай. «Динамическое управление отслеживанием инверсии на основе аддитивного вывода и декомпозиции для класса неопределенных линейных, инвариантных во времени систем», 51-я конференция IEEE по принятию решений и управлению, 2012 г., Мауи, Гавайи, США, 2866–2871.

Дальнейшее чтение

Цюань, Цюань и Кай-Юань Цай (2009). «Аддитивная декомпозиция и ее применение для отслеживания на основе внутренней модели». Совместная 48-я конференция IEEE по принятию решений и управлению и 28-я китайская конференция по управлению , Шанхай, Китай. 817–822.
Цюань Цюань, Хай Линь, Кай-Юань Цай (2014). «Управление отслеживанием выходной обратной связи путем аддитивного разложения состояния для класса неопределенных систем», Международный журнал системной науки 45 (9): 1799–1813.
Цюань Цюань, Кай-Юань Цай, Хай Линь (2015). «Структура управления отслеживанием на основе аддитивного разложения состояний для класса неминимальных фазовых систем с измеримыми нелинейностями и неизвестными возмущениями», Международный журнал робастного и нелинейного управления 25 (2): 163–178
Цюань Цюань, Лу Цзян, Кай-Юань Цай. «Надежное повторяющееся управление с дискретным временем и обратной связью по выходу для класса нелинейных систем путем аддитивного разложения состояния»

[Staffans2005-1] Олоф Стаффанс (24 февраля 2005 г.). Корректные линейные системы . Издательство Кембриджского университета. стр. 13 –. ISBN 978-0-521-82584-9 .

[2] Обеспечение качества обслуживания в гетерогенных средах . Эльзевир. стр. 626–. ISBN 978-0-444-51455-4 .

[Eisenbud1999-3] Дэвид Эйзенбуд (1 июля 1999 г.). Коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия и вычислительные методы . Спрингер Сингапур. стр. 67–. ISBN 978-981-4021-50-0 .

[4] Цюань Цюань, Гуансюнь Ду, Кай-Юань Цай. «Стабилизированное управление с динамической инверсией и разложением аддитивного состояния дляКласс неопределенных систем MIMO», https://arxiv.org/abs/1211.6821.

[5] Цюань Цюань, Кай-Юань Цай. «Динамическое управление отслеживанием инверсии на основе аддитивного вывода и декомпозиции для класса неопределенных линейных, инвариантных во времени систем», 51-я конференция IEEE по принятию решений и управлению, 2012 г., Мауи, Гавайи, США, 2866–2871.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]