Группа кос-петлей

Группа петлевых кос — это математическая групповая структура , которая используется в некоторых моделях теоретической физики для моделирования обмена частицами с петлевой топологией в трех измерениях пространства и времени.

Основными операциями, которые создают группу кос из n петель, являются замена двух соседних петель и прохождение одной соседней петли через другую. Топология заставляет эти генераторы удовлетворять некоторым отношениям, определяющим группу.

Точнее, группа петлевых кос на n петлях определяется как группа движений n непересекающихся окружностей, вложенных в компактную трехмерную «коробку», диффеоморфную трехмерному диску. Движение — это цикл в конфигурационном пространстве, состоящий из всех возможных способов встраивания n кругов в 3-диск. Это становится группой точно так же, как петли в любом пространстве могут быть объединены в группу; сначала мы определяем классы эквивалентности петель, считая пути g и h эквивалентными тогда и только тогда, когда они связаны (гладкой) гомотопией, а затем мы определяем групповую операцию над классами эквивалентности путем конкатенации путей. В своей докторской степени 1962 года. В своей диссертации Дэвид М. Дам смог показать, что существует инъективный гомоморфизм этой группы в группу автоморфизмов свободной группы на n образующих, поэтому естественно отождествить группу с этой подгруппой группы автоморфизмов. Можно также показать, что группа петельных кос изоморфна группе сварных кос, как это сделано, например, в статье Джона К. Баэза , Дерека Уайза и Алиссы Крэнс , в которой также даются некоторые представления группы петельных кос с использованием работа Сяо-Сун Линя.

См. также

• Группа кос