Рациональное разностное уравнение

Рациональное разностное уравнение – это нелинейное разностное уравнение вида ^[1]^[2]^[3]^[4]

x_{n+1}={\frac {\alpha +\sum _{i=0}^{k}\beta _{i}x_{n-i}}{A+\sum _{i=0}^{k}B_{i}x_{n-i}}}~,

где начальные условия $x_{0},x_{-1},\dots ,x_{-k}$ таковы, что знаменатель никогда не обращается в нуль ни при каком $n$ .

Рациональное разностное уравнение первого порядка

Рациональное разностное уравнение первого порядка — это нелинейное разностное уравнение вида

w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}.

Когда $a,b,c,d$ и начальное состояние $w_{0}$ являются действительными числами , это разностное уравнение называется разностным уравнением Риккати . ^[3]

Такое уравнение можно решить, записав $w_{t}$ как нелинейное преобразование другой переменной $x_{t}$ который сам развивается линейно. Тогда стандартными методами можно решить линейно-разностное уравнение в $x_{t}$ .

Уравнения такого вида возникают из задачи лестницы бесконечных резисторов. ^[5]^[6]

Решение уравнения первого порядка

Первый подход

Один подход ^[7] для разработки преобразованной переменной $x_{t}$ , когда $ad-bc\neq 0$ , это написать

y_{t+1}=\alpha -{\frac {\beta }{y_{t}}}

где $\alpha =(a+d)/c$ и $\beta =(ad-bc)/c^{2}$ и где $w_{t}=y_{t}-d/c$ .

Дальнейшее написание $y_{t}=x_{t+1}/x_{t}$ можно показать, что он дает результат

x_{t+2}-\alpha x_{t+1}+\beta x_{t}=0.

Второй подход

Этот подход ^[8] дает разностное уравнение первого порядка для $x_{t}$ вместо второго порядка, для случая, когда $(d-a)^{2}+4bc$ является неотрицательным. Писать $x_{t}=1/(\eta +w_{t})$ подразумевая $w_{t}=(1-\eta x_{t})/x_{t}$ , где $\eta$ дается $\eta =(d-a+r)/2c$ и где $r={\sqrt {(d-a)^{2}+4bc}}$ . Тогда можно показать, что $x_{t}$ развивается в соответствии с

x_{t+1}=\left({\frac {d-\eta c}{\eta c+a}}\right)\!x_{t}+{\frac {c}{\eta c+a}}.

Третий подход

Уравнение

w_{t+1}={\frac {aw_{t}+b}{cw_{t}+d}}

также можно решить, рассматривая его как частный случай более общего матричного уравнения

X_{t+1}=-(E+BX_{t})(C+AX_{t})^{-1},

где все A, B, C, E и X являются размера n × n матрицами (в данном случае n = 1); решение этого ^[9]

X_{t}=N_{t}D_{t}^{-1}

где

{\begin{pmatrix}N_{t}\\D_{t}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-B&-E\\A&C\end{pmatrix}}^{t}{\begin{pmatrix}X_{0}\\I\end{pmatrix}}.

Приложение

Это было показано в ^[10] что динамическое матричное уравнение Риккати вида

H_{t-1}=K+A'H_{t}A-A'H_{t}C(C'H_{t}C)^{-1}C'H_{t}A,

которые могут возникнуть в некоторых в дискретном времени задачах оптимального управления , могут быть решены с использованием второго подхода, описанного выше, если в матрице C всего на одну строку больше, чем столбец.

Ссылки

^ Скеллам, JG (1951). «Случайное рассеяние в теоретических популяциях», Биометрика 38 196−–218, уравнения (41,42)
^ Камузи, Элиас; Ладас, Г. (16 ноября 2007 г.). Динамика рационально-разностных уравнений третьего порядка с открытыми задачами и гипотезами . ЦРК Пресс. ISBN 9781584887669 – через Google Книги.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Куленович, Мустафа Р.С.; Ладас, Г. (30 июля 2001 г.). Динамика рационально-разностных уравнений второго порядка: с открытыми проблемами и гипотезами . ЦРК Пресс. ISBN 9781420035384 – через Google Книги.
^ Ньют, Джеральд, «Мировой порядок с хаотического начала», Mathematical Gazette 88, март 2004 г., 39–45, описывает тригонометрический подход.
^ «Эквивалентное сопротивление в лестничной цепи» . Обмен стеками . Проверено 21 февраля 2022 г.
^ «Рекурсивное мышление: как разгадать головоломку с лестницей бесконечных резисторов!» . Ютуб . Проверено 21 февраля 2022 г.
^ Брэнд, Луи, «Последовательность, определяемая разностным уравнением», American Mathematical Monthly 62 , сентябрь 1955 г., 489–492. онлайн
^ Митчелл, Дуглас В., «Аналитическое решение Риккати для двухцелевого управления в дискретном времени», Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 615–622.
^ Мартин, К.Ф., и Аммар, Г., «Геометрия матричного уравнения Риккати и связанный с ним метод собственных значений», в Биттани, Лауб и Виллемс (ред.), Уравнение Риккати , Springer-Verlag, 1991.
^ Балверс, Рональд Дж., и Митчелл, Дуглас В., «Уменьшение размерности линейно-квадратичных задач управления», Journal of Economic Dynamics and Control 31, 2007, 141–159.

Дальнейшее чтение

Саймонс, Стюарт, «Нелинейное разностное уравнение», Mathematical Gazette 93, ноябрь 2009 г., стр. 500–504.

[1] Скеллам, JG (1951). «Случайное рассеяние в теоретических популяциях», Биометрика 38 196−–218, уравнения (41,42)

[2] Камузи, Элиас; Ладас, Г. (16 ноября 2007 г.). Динамика рационально-разностных уравнений третьего порядка с открытыми задачами и гипотезами . ЦРК Пресс. ISBN 9781584887669 – через Google Книги.

[Ladas-Kulenovic-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Куленович, Мустафа Р.С.; Ладас, Г. (30 июля 2001 г.). Динамика рационально-разностных уравнений второго порядка: с открытыми проблемами и гипотезами . ЦРК Пресс. ISBN 9781420035384 – через Google Книги.

[4] Ньют, Джеральд, «Мировой порядок с хаотического начала», Mathematical Gazette 88, март 2004 г., 39–45, описывает тригонометрический подход.

[5] «Эквивалентное сопротивление в лестничной цепи» . Обмен стеками . Проверено 21 февраля 2022 г.

[6] «Рекурсивное мышление: как разгадать головоломку с лестницей бесконечных резисторов!» . Ютуб . Проверено 21 февраля 2022 г.

[7] Брэнд, Луи, «Последовательность, определяемая разностным уравнением», American Mathematical Monthly 62 , сентябрь 1955 г., 489–492. онлайн

[8] Митчелл, Дуглас В., «Аналитическое решение Риккати для двухцелевого управления в дискретном времени», Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 615–622.

[9] Мартин, К.Ф., и Аммар, Г., «Геометрия матричного уравнения Риккати и связанный с ним метод собственных значений», в Биттани, Лауб и Виллемс (ред.), Уравнение Риккати , Springer-Verlag, 1991.

[10] Балверс, Рональд Дж., и Митчелл, Дуглас В., «Уменьшение размерности линейно-квадратичных задач управления», Journal of Economic Dynamics and Control 31, 2007, 141–159.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]