Ресурсозависимый ветвящийся процесс

Ветвящийся процесс (ВП) (см., например, Джагерс (1975)) — это математическая модель, описывающая развитие популяции. Здесь популяция подразумевается в общем смысле, включая человеческую популяцию, популяции животных, бактерии и другие, которые размножаются в биологическом смысле, каскадный процесс или частицы, расщепляющиеся в физическом смысле, и другие. Члены BP-популяции называются особями или частицами.

Если моменты воспроизводства дискретны (обычно обозначаются 1,2,...), то совокупность особей, присутствующих в момент времени $n$ и доживших до момента времени $n +1,$ исключена, считается образующей $n й$ поколение. Простые БП определяются начальным состоянием (числом особей в момент времени 0) и законом воспроизводства, обычно обозначаемым $p k, k = 1,2,...$ .

Ресурсозависимый ветвящийся процесс (RDBP) — это BP с дискретным временем, который моделирует развитие популяции, в которой люди должны работать, чтобы иметь возможность жить и воспроизводиться. Население выбирает форму общества, которая определяет правила распределения доступных ресурсов между людьми. Для этой цели RDBP должен включать как минимум четыре дополнительных компонента модели, а именно: индивидуальные потребности в ресурсах, создание новых ресурсов для следующего поколения, понятие политики распределения ресурсов и возможность контроля для отдельных лиц за взаимодействием с общество.

Определение

Ресурсозависимый ветвящийся процесс (дискретного времени) — это случайный процесс $Γ,$ определенный на неотрицательных целых числах, который представляет собой BP, определенный формулой

начальное состояние $Γ 0$ ;
закон воспроизводства особей;
закон индивидуального создания ресурсов;
закон индивидуальных ресурсных потребностей (притязаний);
политика распределения доступных ресурсов между индивидуумами, присутствующими в популяции
инструмент взаимодействия человека и общества.

История и цели RDBP

RDBP можно рассматривать (в более широком смысле) как так называемые контролируемые ветвящиеся процессы. Они были введены Ф. Томасом Бруссом (1983) с целью смоделировать различные структуры общества и сравнить преимущества и недостатки различных форм человеческого общества. В этих процессах у индивидов есть средства взаимодействия с обществом, определяющие правила распределения между ними имеющихся в данный момент ресурсов. Это взаимодействие (например, в форме эмиграции) меняет эффективную скорость воспроизводства индивидов, остающихся в обществе. В этом отношении RDBP имеют некоторые общие части с так называемыми BP, зависящими от размера популяции (см. Klebaner (1984) и Klebaner & Jagers (2000)), в которых закон индивидуального независимого воспроизводства (см. процесс Гальтона-Ватсона ) является функцией от нынешней численности населения.

Управляемые RDBP

Реалистичные модели человеческого общества предполагают бисексуальный способ размножения, тогда как в определении RDBP просто говорится о законе воспроизводства. Однако понятие средней скорости воспроизводства на одну особь (Bruss 1984) для бисексуальных процессов показывает, что для всех важных вопросов долгосрочного поведения человеческого общества оправдано для простоты предположить бесполое размножение. Вот почему некоторые ограничивающие результаты Клебанера (1984) и Джагерса и Клебанера (2000) применимы и к RDBP. Модели развития человеческого общества во времени должны учитывать взаимозависимость между различными компонентами. Такие модели, как правило, очень сложны и рискуют стать неразрешимыми. Это привело к идее не пытаться моделировать развитие общества с помощью (единой) реалистичной RDBP, а скорее посредством последовательности управляющих действий, определяющих последовательность соответствующих краткосрочных RDBP.

Две специальные политики служат ориентирами для развития любого общества. Этими двумя политиками являются так называемая политика «сначала самый слабый» (wf-политика) и так называемая политика «сначала самый сильный» (sf-политика).

Определение

Политика WF — это правило, которому следует следовать в каждом поколении, пока это позволяет накопленное ресурсное пространство, всегда с приоритетом индивидов с наименьшими индивидуальными притязаниями. НФ -политика — это правило, согласно которому в каждом поколении всегда с приоритетом обслуживаются самые крупные отдельные заявки на ресурсы, опять же, пока накопленного пространства ресурсов достаточно. Общества, строго адаптирующие эту политику, называются WF-обществом, соответственно НФ-обществом.

Критерии выживания

В теории БП интересно знать, возможно ли выживание процесса в долгосрочной перспективе. Для RDBP этот вопрос также сильно зависит от характеристики, на которую люди имеют большое влияние, а именно от политики распределения ресурсов.

Позволять:

m =

среднее воспроизводство (потомков) на одну особь

r =

среднее производство (создание ресурсов) на человека

F =

индивидуальное распределение вероятностей претензий (ресурсов)

Далее предположим, что все особи, которые не получат притязаний на ресурсы, либо умрут, либо эмигрируют до воспроизводства. так и для sf-общества как функции $m, r$ и $F.$ Затем, используя результаты об ожидаемом времени остановки для сумм порядковой статистики (1991), критерии выживания могут быть явно вычислены как для wf-общества ,

Пожалуй, самым сильным результатом, известным для RDBP, является теорема об охватывании обществ (Bruss and Duerinckx 2015). В нем говорится, что в долгосрочной перспективе любое общество, которое хотело бы выжить и в котором люди в целом предпочитают более высокий уровень жизни более низкому, в конечном итоге будет жить между WF-обществом и НФ-обществом. . Интуиция, почему это должно быть правдой, ошибочна. Математическое доказательство зависит от упомянутых результатов об ожидаемом времени остановки для сумм статистики порядка (1991) и точно настроенных балансирующих действиях между предположениями модели и различными понятиями сходимости случайных величин .

См. также

Ссылки

Ягерс, Питер (1975). Разветвленные процессы с биологическими приложениями . Лондон: Wiley-Interscience [Джон Вили и сыновья].
Брюсс, Ф. Томас (1983). «Ресурсозависимые ветвящиеся процессы». Случайные процессы и их приложения . 16:36 .
Брюсс, Ф. Томас (1984). «Заметка о критериях исчезновения бисексуальных процессов Гальтона – Ватсона». Журнал прикладной вероятности . 21 : 915–919. дои : 10.2307/3213707 .
Клебанер, Фима К. (1984). «О ветвящихся процессах, зависящих от численности популяции». Достижения в области прикладной теории вероятности . 16 :30–55. дои : 10.2307/1427223 .

Брюсс, Ф. Томас; Робертсон, Джеймс (1991). «Лемма Уолда для суммы порядковой статистики случайных величин iid». Достижения в области прикладной теории вероятности . 23 : 612–623. дои : 10.2307/1427625 .
Ягерс, Питер; Клебанер, Фима К. (2000). «Ветвящиеся процессы, зависящие от численности и возраста». Случайные процессы и их приложения . 87 : 235–254. дои : 10.1016/s0304-4149(99)00111-8 .
Брюсс, Ф. Томас; Дуринкс, Митя (2015). «Ресурсозависимые ветвящиеся процессы и оболочка обществ» . Анналы прикладной теории вероятности . 25 : 324–372. arXiv : 1212.0693 . дои : 10.1214/13-aap998 .