Связь (вероятность)

В теории вероятностей связь — это метод доказательства , который позволяет сравнивать две несвязанные случайные величины (распределения) $X$ и $Y$ путем создания случайного вектора $W$ которого , маргинальные распределения соответствуют $X$ и $Y$ соответственно. Выбор $W$ , как правило, не является уникальным, и вся идея «связывания» заключается в том, чтобы сделать такой выбор, чтобы $X$ и $Y$ могли быть связаны особенно желательным образом.

Определение

Используя стандартный формализм теории вероятностей , пусть $X_{1}$ и $X_{2}$ две случайные величины, определенные в вероятностных пространствах $(\Omega _{1},F_{1},P_{1})$ и $(\Omega _{2},F_{2},P_{2})$ . Затем соединение $X_{1}$ и $X_{2}$ это новое вероятностное пространство $(\Omega ,F,P)$ над которым существуют две случайные величины $Y_{1}$ и $Y_{2}$ такой, что $Y_{1}$ имеет то же распределение, что и $X_{1}$ пока $Y_{2}$ имеет то же распределение, что и $X_{2}$ .

Интересен случай, когда $Y_{1}$ и $Y_{2}$ являются не независимыми.

Примеры

Случайное блуждание

Предположим, две частицы A и B совершают простое случайное блуждание в двух измерениях, но начинаются с разных точек. Самый простой способ связать их — просто заставить их идти вместе. На каждом шаге, если A поднимается вверх, то же самое делает и B , если A движется влево, то же самое делает B и т. д. Таким образом, разница между положениями двух частиц остается фиксированной. Что касается A , то он совершает идеальное случайное блуждание, а B является его подражателем. Б придерживается противоположной точки зрения, т.е. что он, по сути, является оригиналом, а А — копией. И в каком-то смысле они оба правы. Другими словами, любая математическая теорема или результат, справедливый для обычного случайного блуждания, также будет верен как для , так и для B. A

Рассмотрим теперь более подробный пример. Предположим, что A начинается с точки (0,0), а B — с (10,10). Сначала соедините их так, чтобы они шли вместе в вертикальном направлении, т. е. если A идет вверх, то же самое делает и B и т. д., но являются зеркальными отражениями в горизонтальном направлении, т. е. если A идет налево, B идет направо, и наоборот. Мы продолжаем эту связь до тех пор, пока A и B не будут иметь одну и ту же горизонтальную координату или, другими словами, не окажутся на вертикальной линии (5, y ). Если они никогда не встретятся, мы продолжим этот процесс навсегда (правда, вероятность этого равна нулю). После этого события мы меняем правило сцепления. Мы позволяем им идти вместе в горизонтальном направлении, но в зеркальном отражении - в вертикальном направлении. Мы продолжаем это правило до тех пор, пока они не встретятся и в вертикальном направлении (если они это сделают), и с этого момента мы просто позволяем им идти вместе.

Это связь в том смысле, что ни одна частица, взятая сама по себе, не может «почувствовать» то, что мы сделали. Ни тот факт, что другая частица так или иначе следует за ней, ни тот факт, что мы изменили правило связи или когда мы это сделали. Каждая частица совершает простое случайное блуждание. встретиться И все же наше правило сопряжения заставляет их почти наверняка и с этого момента оставаться вместе навсегда. Это позволяет доказать множество интересных результатов, которые говорят, что «в долгосрочной перспективе» не важно, с чего вы начали, чтобы получить этот конкретный результат.

Предвзятые монеты

Предположим, есть две смещенные монеты: первая с вероятностью p выпадения орла, а вторая с вероятностью q > p выпадения орла. Интуитивно понятно, что если обе монеты подбросить одинаковое количество раз, мы должны ожидать, что на первой монете выпадет меньше орлов, чем на второй. Точнее, для любого фиксированного k вероятность того, что на первой монете выпадет хотя бы k орлов, должна быть меньше вероятности того, что на второй монете выпадет хотя бы k орлов. Однако доказать такой факт может быть сложно с помощью стандартного подсчета аргументов. ^[1] Соединение легко решает эту проблему.

Пусть X ₁ , X ₂ , ..., X _n — индикаторные переменные для орла в последовательности подбрасываний первой монеты. Для второй монеты определите новую последовательность Y ₁ , Y ₂ , ..., Y _n такую, что

если X _i = 1, то Y _i = 1,
если X _i = 0, то Y _i = 1 с вероятностью ( q - p )/(1 - p ).

Тогда последовательность Y _i имеет точное распределение вероятностей бросков второй монеты. Однако, поскольку Y _i зависит от X _i , теперь возможно сравнение двух монет броском за броском. То есть для любого k ≤ n

\Pr(X_{1}+\cdots +X_{n}>k)\leq \Pr(Y_{1}+\cdots +Y_{n}>k).

Сходимость цепей Маркова к стационарному распределению

Инициализировать один процесс $X_{n}$ вне стационарного распределения и инициализировать другой процесс $Y_{n}$ внутри стационарного распределения. Соедините эти два независимых процесса вместе $(X_{n},Y_{n})$ . Со временем эти два процесса будут развиваться независимо. При определенных условиях эти два процесса в конечном итоге встретятся, и в этот момент их можно будет считать одним и тем же процессом. Это означает, что процесс вне стационарного распределения сходится к стационарному распределению.

См. также

Примечания

^ Дубхаши, Девдатт; Панконези, Алессандро (15 июня 2009 г.). Концентрация меры для анализа рандомизированных алгоритмов (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 91. ИСБН 978-0-521-88427-3 .

Ссылки

Линдвалл, Т. (1992). Лекции по методу сцепления . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-54025-0 .
Ториссон, Х. (2000). Связь, стационарность и регенерация . Нью-Йорк: Спрингер.

[1] Дубхаши, Девдатт; Панконези, Алессандро (15 июня 2009 г.). Концентрация меры для анализа рандомизированных алгоритмов (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета. п. 91. ИСБН 978-0-521-88427-3 .

[1]