Телескопическая цепь Маркова

В теории вероятностей телескопическая цепь Маркова (ТМС) представляет собой векторнозначный случайный процесс , который удовлетворяет свойству Маркова и допускает иерархический формат через сеть матриц перехода с каскадной зависимостью.

Для любого $N>1$ рассмотрим множество пространств $\{{\mathcal {S}}^{\ell }\}_{\ell =1}^{N}$. Иерархический процесс $\theta _{k}$ определенный в пространстве продукта

$\theta _{k}=(\theta _{k}^{1},\ldots ,\theta _{k}^{N})\in {\mathcal {S}}^{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}^{N}$

называется TMC, если существует набор ядер вероятности перехода $\{\Lambda ^{n}\}_{n=1}^{N}$ такой, что

1. $\theta _{k}^{1}$ представляет собой цепь Маркова с матрицей вероятности перехода $\Lambda ^{1}$

   $\mathbb {P} (\theta _{k}^{1}=s\mid \theta _{k-1}^{1}=r)=\Lambda ^{1}(s\mid r)$

2. на каждом уровне иерархии существует каскадная зависимость,

   $\mathbb {P} (\theta _{k}^{n}=s\mid \theta _{k-1}^{n}=r,\theta _{k}^{n-1}=t)=\Lambda ^{n}(s\mid r,t)$ для всех $n\geq 2.$

3. $\theta _{k}$ удовлетворяет марковскому свойству с переходным ядром, которое можно записать в терминах $\Lambda$х,

   $\mathbb {P} (\theta _{k+1}={\vec {s}}\mid \theta _{k}={\vec {r}})=\Lambda ^{1}(s_{1}\mid r_{1})\prod _{\ell =2}^{N}\Lambda ^{\ell }(s_{\ell }\mid r_{\ell },s_{\ell -1})$

где ${\vec {s}}=(s_{1},\ldots ,s_{N})\in {\mathcal {S}}^{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}^{N}$ и ${\vec {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{N})\in {\mathcal {S}}^{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}^{N}.$