Нулевая стабильность

Нулевая стабильность , также известная как D-стабильность в честь Гермунда Далквиста , относится к устойчивости численной схемы, примененной к простой задаче начального значения. $y'(x)=0$.

Линейный многошаговый метод является нуль-устойчивым, если все корни характеристического уравнения, возникающего при применении метода к $y'(x)=0$ имеют величину меньше или равную единице и что все корни единичной величины являются простыми. Это называется корневым состоянием и означает, что паразитные решения рекуррентного соотношения не будут расти экспоненциально.

Пример

Следующий метод третьего порядка имеет наивысший возможный порядок для любого явного двухшагового метода. для решения $y'(x)=f(x)$: $$y_{n+2}+4y_{n+1}-5y_{n}=h(4f_{n+1}+2f_{n}).$$ Если $f(x)=0$ тождественно, это дает линейное рекуррентное соотношение с характеристическим уравнением $$r^{2}+4r-5=(r-1)(r+5)=0.$$ Корни этого уравнения: $r=1$ и $r=-5$ и поэтому общее решение рекуррентного соотношения есть $y_{n}=c_{1}\cdot 1^{n}+c_{2}(-5)^{n}$. Ошибки округления при вычислении $y_{1}$ будет означать ненулевое (хотя и небольшое) значение $c_{2}$ так что в конечном итоге паразитное решение $(-5)^{n}$ будет доминировать. Следовательно, этот метод не является нулевым.